Question

6．如图，在平面直角坐标系中，过点B（3，0）的直线AB与直线OA相交于点
A（2，1），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）设直线AB的关系式为y=kx+b，求k、b的值；
（2）求△OAC的面积；
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的$\frac{1}{2}$？若存在，直接写出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入y=kx+b，解方程组即可解决问题．
（2）先求出点C坐标，再利用三角形的面积公式计算即可．
（3）分三种情形①点M在线段OA上，②点M在线段AC上，③点M在点C上方分别求解即可．

解答 解：（1）把x=2时，y=1及当x=3时，y=0分别代入y=kx+b，得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
则直线的关系式是：y=-x+3；
∴k=-1，b=3．

（2）由y=-x+3，可知 点C的坐标为（0，3），
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$×3×2=3；  

（3）存在．如图，

①点M₁在线段OA上，OM₁=M₁A时，△OCM₁的面积等于△OAC面积的一半．
此时M₁（1，$\frac{1}{2}$）．

②点M₂在线段AC上，CM₂=AM₂时，△OCM₂的面积等于△OAC面积的一半，
此时点M₂坐标（1，2）．

③点M₃在点C上方，由题意M₃与M₂关于点C对称，
∴M₃（-1，4）．
综上所述，点M的坐标是：M₁（1，$\frac{1}{2}$）或M₂（1，2）或M₃（-1，4）．

点评 本题考查一次函数综合题、三角形的面积、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．