Question

已知：抛物线y=x²+（a-2）x-2a（a为常数，且a＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C．当AC=2

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时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）令抛物线的y=x²+（a-2）x-2a的y值等于0，证所得方程x²+（a-2）x-2a=0的△＞0即可；
（2）令抛物线的解析式中y=0，通过解方程即可求出A、B的坐标，进而可得到OA的长；易知C（0，-2a），由此可得到OC的长，在Rt△OAC中，根据勾股定理即可得到关于a的方程，可据此求出a的值，即可确定抛物线的解析式．

解答：解：（1）证明：令y=0，则x²+（a-2）x-2a=0
△=（a-2）²+8a=（a+2）²；
∵a＞0，
∴a+2＞0
∴△＞0
∴方程x²+（a-2）x-2a=0有两个不相等的实数根；
∴抛物线与x轴有两个交点；

（2）令y=0，则x²+（a-2）x-2a=0，
解方程，得x₁=2，x₂=-a
∵A在B左侧，且a＞0，
∴抛物线与x轴的两个交点为A（-a，0），B（2，0）．
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0，-2a）（3分）
∴AO=a，CO=2a；
在Rt△AOC中，AO²+CO²=（2

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）²，即a²+（2a）²=20，
可得a=±2；
∵a＞0，
∴a=2
∴抛物线的解析式为y=x²-4．

点评：本题考查了抛物线与x轴交点．解题时，利用了根的判别式、勾股定理、二次函数解析式的求法等知识点．