Question

5．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：
（1）BC、AD的长；
（2）图中两阴影部分面积的和．

Answer 1

分析 （1）根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理求出AD=BD，求出AD即可；
（2）根据三角形的面积公式，求出△AOC和△AOD的面积，再求出S_扇形COD，即可求出答案．

解答 解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$；

（2）连接OC，OD，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=∠2∠ABC=60°，
∵OA=OB，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
由（1）得∠AOD=90°，
∴∠COD=150°，
S_△AOD=$\frac{1}{2}$×AO×OD=$\frac{1}{2}$×2²=2，
∴S_阴影=S_扇形COD-S_△AOC-S_△AOD=$\frac{150π×{2}^{2}}{360}$-$\sqrt{3}$-2=$\frac{5}{3}$π-$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用，关键是求出∠ACB=∠ADB=90°，题型较好，通过做此题，培养了学生运用定理进行推理的能力．