分析 (1)根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°,根据勾股定理求出BC,根据圆周角定理求出AD=BD,求出AD即可;
(2)根据三角形的面积公式,求出△AOC和△AOD的面积,再求出S扇形COD,即可求出答案.
解答 解:(1)∵AB是直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角),
在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AC=2,
∴AB=4,
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$,
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D,
∴∠DCA=∠BCD
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$,
∴AD=BD,
∴在Rt△ABD中,AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$;
(2)连接OC,OD,
∵∠ABC=30°,
∴∠AOC=∠2∠ABC=60°,
∵OA=OB,
∴S△AOC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$,
由(1)得∠AOD=90°,
∴∠COD=150°,
S△AOD=$\frac{1}{2}$×AO×OD=$\frac{1}{2}$×22=2,
∴S阴影=S扇形COD-S△AOC-S△AOD=$\frac{150π×{2}^{2}}{360}$-$\sqrt{3}$-2=$\frac{5}{3}$π-$\sqrt{3}$-2.
点评 本题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用,关键是求出∠ACB=∠ADB=90°,题型较好,通过做此题,培养了学生运用定理进行推理的能力.
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