Question

15．已知：如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+2x与x轴正半轴交于点A．
（1）在x轴上方的抛物线上存在点D，使△OAD为等腰直角三角形，请求出点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接AD，在直线AD的上方的抛物线上有一动点C，连结CD、AC，当△ACD的面积最大时，求直线OC的解析式；
（3）在（1）、（2）的条件下，作射线OD，在线段OD上有点B，且$\frac{OB}{OD}$=$\frac{3}{4}$，过点B作FB⊥OD于点B，交x轴于点F．点P在x轴的正半轴上，过点P作PE∥y轴，交射线OC于点R，交射线OD于点E，交抛物线于点Q．以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQMN，其中RN=$\frac{3}{2}$．请求出矩形RQMN与△OBF重叠部分为轴对称图形时点P的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先作线段OA的中垂线交抛物线于点D，交OA于点G，连接OD、AD，然后求出点A的坐标是（8，0），再根据△OAD为等腰直角三角形，且点D在x轴上方的抛物线上，判断出线段OA不能是△OAD的直角边，只能是△OAD的斜边，据此求出点D的坐标即可．
（2）首先设在直线AD的上方的抛物线上点C的坐标为（m，-$\frac{1}{4}$m²+2m），根据三角形的面积的求法，用含有m的算式表示出S_△ACD的大小，然后根据二次函数最值的求法，求出当m取什么值时，△ACD的面积最大，进而求出点C的坐标是多少；最后应用待定系数法，求出直线OC的解析式即可．
（3）根据题意，分类讨论：①当RQ=RN=$\frac{3}{2}$时；②当BG所在的直线为矩形RQMN的对称轴时；③当RQ与BG重合时；④当点R落在BF上时；然后根据矩形RQMN与△OBF重叠部分为轴对称图形以及RN=$\frac{3}{2}$，求出矩形RQMN与△OBF重叠部分为轴对称图形时点P的横坐标的取值范围即可．

解答 解：（1）如图1，作线段OA的中垂线交抛物线于点D，交OA于点G，连接OD、AD，
，
∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+2x与x轴正半轴交于点A，
∴点A的坐标是（8，0），
∵△OAD为等腰直角三角形，且点D在x轴上方的抛物线上，
∴线段OA不能是△OAD的直角边，只能是△OAD的斜边，
∵△OAD为等腰直角三角形，DG⊥OA，
∴OG=GA=DG=4，∠ODA=90°，
∴点D的坐标为（4，4）．

（2）如图2，
，
设在直线AD的上方的抛物线上点C的坐标为（m，-$\frac{1}{4}$m²+2m），
则S_△ACD=$\frac{1}{2}$（DG+|y_C|）×|x_C-x_D|+$\frac{1}{2}$|y_C|×|x_A-x_C|-$\frac{1}{2}$GA•DG
=$\frac{1}{2}$（4+|-$\frac{1}{4}$m²+2m|）×|m-4|+$\frac{1}{2}$×|-$\frac{1}{4}$m²+2m|×|8-m|-$\frac{1}{2}$×4×4
=-$\frac{1}{2}$m²+6m-16
=-$\frac{1}{2}$（m-6）²+2
∵4≤m≤8，
∴当m=6时，△ACD的面积最大，
∵当m=6时，
-$\frac{1}{4}$m²+2m=-$\frac{1}{4}$×6²+2×6=3，
∴点C的坐标为C（6，3），
设直线OC的解析式为y=kx，
则6x=3，
解得k=$\frac{1}{2}$，
∴当△ACD的面积最大时，直线OC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x．

（3）①如图3，
，
当RQ=RN=$\frac{3}{2}$时，
设点P的坐标是（m，0），
则点Q的坐标是（m，-$\frac{1}{4}$m²+2m），点R的坐标是（m，$\frac{1}{2}m$），
∵-$\frac{1}{4}$m²+2m-$\frac{1}{2}m$=$\frac{3}{2}$，
∴m²-6m+6=0，
解得m=3+$\sqrt{3}$，m=3-$\sqrt{3}$，
∵点D的坐标是（4，4），m=3+$\sqrt{3}$＞4，不符合题意，
∴m=3-$\sqrt{3}$．

②如图4，
，
当BG所在的直线为矩形RQMN的对称轴时，
设点P的坐标是（m，0），
∵点D的坐标为D（4，4），
∴OD=4$\sqrt{2}$，
∵$\frac{OB}{OD}$=$\frac{3}{4}$，
∴OB=$\frac{3}{4}×4\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∴点B的坐标是（3，3），
∵RN=$\frac{3}{2}$，
∴$2（3-m）=\frac{3}{2}$，
解得m=$\frac{9}{4}$．

③如图5，
，
当RQ与BG重合时，重叠部分为等腰直角三角形，
设点P的坐标是（m，0），
∵点D的坐标为D（4，4），
∴OD=4$\sqrt{2}$，
∵$\frac{OB}{OD}$=$\frac{3}{4}$，
∴OB=$\frac{3}{4}×4\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∴点B的坐标是（3，3），
∴点P的坐标是（3，0），
即m=3．

④如图6，
，
当点R落在BF上时，
设点P的坐标是（m，0），
∵点D的坐标是（4，4），
∴OD所在的直线的解析式是：y=x，
∵FB⊥OD，
∴FB所在的直线的斜率是-1，
设FB所在的直线的解析式是y=-x+p，
则3=-3+p，
解得p=6，
∴FB所在的直线的解析式是y=-x+6，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$
∴点P的坐标是（4，0），
即m=4，
∴3≤m＜4．
综上，可得
矩形RQMN与△OBF重叠部分为轴对称图形时点P的横坐标的取值范围是：
m=3-$\sqrt{3}$，m=$\frac{9}{4}$，或3≤m＜4．

点评 （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了待定系数法求直线解析式的方法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，以及轴对称图形的性质和应用，要熟练掌握．