Question

已知，AB为⊙O的直径，点E为弧AB任意一点，如图，AC平分∠BAE，交⊙O于C，过点C作CD⊥AE于D，与AB的延长线交于P．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BAE=60°，求线段PB与AB的数量关系．

Answer 1

（1）证明：连OC，BC，如图，
∵∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA．
∴AD∥OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：若∠BAE=60°，则∠1=30°，∠P=30°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°．
∴∠3=60°，则△OBC为等边三角形，即BC=AB．
而∠3=∠P+∠4，所以∠4=30°，
∴BC=BP．
∴PB=AB．
分析：（1）通过角平分线和有两半径为边的三角形是等腰三角形可得到OC∥AD，再证明OC⊥CD．
（2）先得到△ACB是含30°的直角三角形，找到AB=2BC，再证明BC=BP即可．
点评：熟练掌握切线的判定定理，证明切线的问题转化为证明线段垂直的问题．要学会充分利用特殊角进行角度计算，确定边之间的数量．