Question

19．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，∠CBD=30°，则图中阴影部分的面积；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=$\frac{2}{3}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由AB是直径，可得∠ADB=90°，然后由∠CDA=∠CBD，求得∠CDO=90°，即可证得结论；
（2）由∠CBD=30°，可得△ADO是边长为1的等边三角形，继而求得CD的长，然后由S_阴影=S_△CDO-S_扇形OAD求得答案；
（3）首先连接OE，由切线长定理可得ED=EB，OE⊥DB，继而证得Rt△CDO∽Rt△CBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得CD的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．

解答 解：（1）证明：连OD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°．
又∵∠CDA=∠CBD，∠1=∠CBD，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线．

（2）∵∠CBD=30°，
∴∠1=30°，∠DOC=60°，∠C=30°．
∴△ADO是边长为1的等边三角形，
∴CD=$\frac{OD}{tanC}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$．
∴S_阴影=S_△CDO-S_扇形OAD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$．

（3）连接OE．
∵EB，CD均为⊙O的切线，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB．
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠OEB=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$．
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴$\frac{CD}{CB}$=$\frac{OD}{BE}$=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=8．
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+8）²=x²+12²，
解得x=5．
即BE的长为5．

点评 此题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线，利用方程思想求解是解此题的关键．