Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，将直角尺的顶点放在边AB中点F上，直角尺的两边分别交AC、BC于点D、E，连接DE，直角尺在旋转的过程中，下列结论不正确的是（　　）

A．△DFE是等腰直角三角形

B．四边形CDFE的面积保持不变

C．△CDE面积的最大值为8

D．四边形CDFE不可能为正方形

Answer 1

分析：连CF，根据等腰直角三角形的性质得CF=FA，CF⊥AB，CF平分∠ACB，则∠FCE=∠A=45°，∠CFA=90°，根据等角的余角相等得到∠AFD=∠CFE，根据全等三角形的判定得△AFD≌△CFE，则FD=FE，得到△DFE是等腰直角三角形；四边形CDFE的面积=△CDF的面积+△CFE的面积=△CDF的面积+△AFD的面积=△CAF的面积=

1

2

×△ABC的面积=

1

2

×

1

2

8×8=16；当FD⊥AC时，四边形CDFE为正方形，此时△CDE面积的最大值为

1

2

×16=8．

解答：解：连CF，如图，
∵F点是等腰Rt△ABC边AB中点，
∴CF=FA，CF⊥AB，CF平分∠ACB，
∴∠FCE=∠A=45°，∠CFA=90°，
又∵∠DFE=90°，
∴∠AFD=∠CFE，
在△AFD和△CFE中

∠A=∠FCE AF=CF ∠AFD=∠CFE

∴△AFD≌△CFE，
∴FD=FE，
∴△DFE是等腰直角三角形；
∵四边形CDFE的面积=△CDF的面积+△CFE的面积=△CDF的面积+△AFD的面积=△CAF的面积=

1

2

×△ABC的面积=

1

2

×

1

2

×8×8=16；
当FD⊥AC时，四边形CDFE为正方形，此时△CDE面积的最大值为

1

2

×16=8．
故选D．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角对应相等，并且有一条边对应相等的三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．