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    如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．
    求证：K是线段MN的中点．

    证明：∵EF截△PMN，
    则
    ∵BC截△PAE，
    则，
    ∴即有，
    所以，
    ∵AD截△PCF，
    则，
    即，∴
    因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，
    ，
    即，
    所以由（1）得NK=KM，即K是线段MN的中点．
    分析：根据题意，EF截△PMN，则；BC截△PAE，则；所以．而AD截△PCF，则，即，∴，因AP=AC+CP，得2CP+AC=2AP-AC，由（3），（4）得，，即，所以由（1）得NK=KM，即K是线段AM的中点．
    点评：本题考查了线段截三角形所得的线段的比为定值．以及比例的性质．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．精英家教网
    （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
    （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
    （3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
    ①当t＞
    35
    时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
    ②当线段A′C′与射线BB′，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD．
    （1）求证：∠1+∠2=90°；
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    （2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F=55°，求∠ABC；
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    （3）若H是BC上一动点，F是BA延长线上一点，FH交BD于M，FG平分∠BFH，交DE于N，交BC于G．当H在BC上运动时（不与B点重合），
    ∠BAD+∠DMH∠DNG
    的值是否变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•海珠区一模）如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC、BE，且AC和BE相交于点O．
    （1）求证：四边形ABCE是菱形；
    （2）如图2，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，过Q作QR⊥BD交BD于R．
    ①四边形PQED的面积是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由；
    ②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形是否可能相似？若可能，请求出线段BP的长；若不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
    （1）当t=2时，AP=
    1
    1
    ，点Q到AC的距离是
    8
    5
    8
    5
    ；
    （2）在点P从C向A运动的过程中，将△APQ的面积S用关于t的代数式来表示；（不必写出t的取值范围）
    （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t所有可能的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
    （1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
    （2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

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