Question

如图，抛物线和直线y=kx-4k（k＜0）与x轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称轴x=-1与x轴相交于C点，且∠ABC=90°，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：先由y=kx-4k（k＜0）得到A（4，0），B（0，-4k）；又可得C（-1，0），即可求出A点关于对称轴对称的点坐标为（-6，0），
则可设抛物线的解析式y=a（x+6）（x-4）．易证Rt△BOC∽Rt△AOB，得到OB²=OC•OA，即（-4k）²=1×4，而k＜0，求出k的值，即得到B点坐标，然后代入解析式得到a的值．

解答：解：对于y=kx-4k（k＜0），令y=0，x=4，得A的坐标（4，0）；令x=0，y=-4k，得B的坐标（0，-4k），C点坐标为（-1，0），则A点关于对称轴对称的点坐标为（-6，0），
设抛物线的解析式y=a（x+6）（x-4），
又∵∠ABC=90°，
∴Rt△BOC∽Rt△AOB，
∴OB²=OC•OA，即（-4k）²=1×4，而k＜0，
∴k=-

1

2

，则B点坐标（0，2）．
把（0，2）代入解析式得，2=a×6×（-4），解得a=-

1

12

．
∴y=-

1

12

（x+6）（x-4），
所以抛物线的解析式为y=-

1

12

x²-

1

6

x+2．

点评：本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），其中x₁，x₂为抛物线与x轴交点的横坐标．也考查了三角形相似的判定与性质．