Question

如图1，抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；
（3）如图2，过点E（1，-1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²-3ax+b过A（-1，0）、C（3，2），
∴0=a+3a+b，2=9a-9a+b．
解得a=-

1

2

，b=2，
∴抛物线解析式y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）如图1，过点C作CH⊥AB于点H，
由y=-

1

2

x²+

3

2

x+2得B（4，0）、D（0，2）．
又∵A（-1，0），C（3，2），
∴CD∥AB．
由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形，
∴S_△AOD=S_△BHC．
设矩形ODCH的对称中心为P，则P（

3

2

，1）．
由矩形的中心对称性知：过P点任一直线将它的面积平分．
∴过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分．
当直线y=kx-1经过点P时，
得1=

3

2

k-1
∴k=

4

3

．
∴当k=

4

3

时，直线y=

4

3

x-1将四边形ABCD面积二等分．

（3）如图2，由题意知，
∵△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ，
∴设绕点I旋转，联结AI，NI，MI，EI，
∵AI=MI，NI=EI，
∴四边形AEMN为平行四边形，
∴AN∥EM且AN=EM．
∵E（1，-1）、A（-1，0），
∴设M（m，n），则N（m-2，n+1）
∵M、N在抛物线上，
∴n=-

1

2

m²+

3

2

m+2，n+1=-

1

2

（m-2）²+

3

2

（m-2）+2，
解得m=3，n=2．
∴M（3，2），N（1，3）．