Question

8．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}（k≠0）$的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x交于点C，与y轴交于点D，OC=1，BC=5，$sin∠BCO=\frac{3}{5}$．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接BO，AO，求△AOB的面积．
（3）观察图象，直接写出不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）先根据解直角三角形求得点D和点B的坐标，再利用C、D两点的坐标求得一次函数解析式，利用点B的坐标求得反比例函数解析式；
（2）先根据解方程组求得两个函数图象的交点A的坐标，再将x轴作为分割线，求得△AOB的面积；
（3）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象下方时所有点的横坐标的集合即可．

解答 解：（1）∵$sin∠BCO=\frac{3}{5}$
∴直角三角形OCD中，$\frac{OD}{CD}$=$\frac{3}{5}$，即CD=$\frac{5}{3}$OD
又∵OC=1
∴1²+OD²=（$\frac{5}{3}$OD）²
解得OD=$\frac{3}{4}$，即D（0，-$\frac{3}{4}$）
将C（1，0）和D（0，-$\frac{3}{4}$）代入一次函数y=ax+b，可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=a+b}\\{-\frac{3}{4}=0+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$
∴一次函数的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$
过B作BE⊥x轴，垂足为E
∵直角三角形BCE中，BC=5，$sin∠BCO=\frac{3}{5}$
∴BE=3，CE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4
∴OE=4-1=3，即B（-3，-3）
将B（-3，-3）代入反比例函数$y=\frac{k}{x}（k≠0）$，可得k=9
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{9}{x}$；

（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}}\\{y=\frac{9}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$
∴A（4，$\frac{9}{4}$）
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{9}{4}$+$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{9}{8}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{21}{8}$；

（3）根据图象可得，不等式$ax+b＜\frac{k}{x}$的解集为：x＜-3或0＜x＜4．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象上点的坐标满足函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．