Question

在城市繁华中心地带的商铺内，放置统一尺寸大小的“格子柜“，任何人只需每月支付一定的费用，就可以租用一个柜子寄卖自己的物品，相当于拥有自己的一个“迷你实体店”，“格子店”以投入少、易操作为特点，吸引着众多淘宝店家．
张阿姨有格子柜40个，当每个格子柜的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每个格子柜的月租金提高10元时，格子柜就少租出一个，且没有租出的一个格子柜每月需支出费用20元，设每个格子柜的月租金为x（x≥270）元，月收益为y元（总收益=设备租金收入-未租出格子柜支出费用）
（1）求y关于x的函数关系；
（2）当x为何值时，月收益最大？最大月收益是多少？
（3）当月租金分别为300元和350元时，张阿姨的月收益分别是多少元？应该出租多少个格子柜？请你简单说明理由．
（4）请把（2）中所求出的二次函数配成y=a（x+）²+的形式，并据此说明，当x为何值时，张阿姨出租格子柜的月收益最大？最大的月收益是多少？

Answer 1

解：（1）未租出的格子柜为套，
所有未租出格子柜的支出费用为（2x-540）元；
∴y=（40-）x-（2x-540）=-+65x+540；

（2）∴当x=325时，y有最大值11102.5；

（3）当月租金为300元时，张阿姨的月收益为11040元，此时租出格子柜37个；当月租金为350元时，张阿姨的月收益为11040元，此时租出格子柜32个．
∵出租37个和32个格子柜获得同样的收益，如果考虑减少格子柜的磨损，应该选择出租32个；
如果考虑市场占有率，应该选择37个；

（4）y=-+65x+540，
=-（x²-2×325x+325²）+540+×325²，
=-（x-325）²+11102.5
∴当x=325时，y有最大值11102.5．
但是，当月租金为325元时，租出格子柜为34.5，而34.5不是整数，故租出格子柜应为34（个）或35（个），即当月租金为330元（租出34个）或月租金为320元（租出35个）时，张阿姨的月收益最大，最大月收益均为11100元．
分析：（1）已知每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，故未租出的设备为 ，所有未出租设备支出的费用为（2x-540）元，依题意可知共收入（40-）x，再根据总收益=设备租金收入-未租出格子柜支出费用，即可列出y关于x的函数关系．
（2）根据二次函数求最值即可得出答案．
（3）当月租金为300元和350元时，代入（1）中的函数式即可求出张阿姨的月收益，对于应该出租多少个格子柜，可从格子柜的磨损及市场占有率两个方面进行考虑．
（4）用配方法写出题目要求的形式，即可得出答案．
点评：本题考查的是二次函数的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，同时考生要注意考虑x的实际取值范围．