精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
问题提出
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
问题解决
如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
类比应用
(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(a、b是正数,且a≠b),试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.
(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小(b>c).

联系拓广
小刚在超市里买了一些物品,用一个长方体的箱子“打包”,这个箱子的尺寸如图4所示(其中b>a>c>0),售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑,问哪种方法用绳最短?哪种方法用绳最长?请说明理由.

【答案】分析:类比应用(1)首先得出-=,进而比较得出大小关系;
(2)由图形表示出M1=2(a+b+c+b)=2a+4b+2c,N1=2(a-c+b+3c)=2a+2b+4c,利用两者之差求出即可.
联系拓广:分别表示出图5的捆绑绳长为L1,则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c,图6的捆绑绳长为L2,则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c,
图7的捆绑绳长为L3,则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c,进而表示出它们之间的差,即可得出大小关系.
解答:解:类比应用
(1)-=
∵a、b是正数,且a≠b,
>0,

∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高;

(2)由图知,M1=2(a+b+c+b)=2a+4b+2c,
N1=2(a-c+b+3c)=2a+2b+4c,
M1-N1=2a+4b+2c-(2a+2b+4c)=2(b-c),
∵b>c,∴2(b-c)>0,
即:M1-N1>0,∴M1>N1
∴第一个矩形大于第二个矩形的周长.
联系拓广
设图5的捆绑绳长为L1,则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c,
设图6的捆绑绳长为L2,则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c,
设图7的捆绑绳长为L3,则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c,
∵L1-L2=4a+4b+8c-(4a+4b+4c)=4c>0,
∴L1>L2
∵L3-L2=6a+4b+6c-(4a+4b+4c)=2a+2c>0,
∴L3-L1=6a+4b+6c-(4a+4b+8c)=2(a-c),
∵a>c,
∴2(a-c)>0,
∴L3>L1
∴第二种方法用绳最短,第三种方法用绳最长.
点评:此题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质,根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

问题提出
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定它们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
问题解决
如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
类比应用
(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为
a+b
2
元/千克和
2ab
a+b
元/千克(a、b是正数,且a≠b),试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.
(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小(b>c).
精英家教网
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品,用一个长方体的箱子“打包”,这个箱子的尺寸如图4所示(其中b>a>c>0),售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑,问哪种方法用绳最短?哪种方法用绳最长?请说明理由.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•盐都区一模)问题提出
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
问题解决
如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
类比应用
(1)已知:多项式M=2a2-a+1,N=a2-2a.试比较M与N的大小.
(2)已知:如图2,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a<b<c,现将△ABC 补成长方形,使得△ABC的两个顶
点为长方形的两个端点,第三个顶点落在长方形的这一边的对边上.
①这样的长方形可以画
3
3
个;
②所画的长方形中哪个周长最小?为什么?
拓展延伸
已知:如图3,锐角△ABC(其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a<b<c,画其BC边上的内接正方形EFGH,使E、F两点在边BC上,G、H分别在边AC、AB上,同样还可画AC、AB边上的内接正方形,问哪条边上的内接正方形面积最大?为什么?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

问题提出

我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.

问题解决

如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.

解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.

∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2

∵a≠b,∴(a-b)2>0.

∴M-N>0.

∴M>N.

类比应用

1.已知:多项式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a .试比较M与N的大小.

2.已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边

满足a <b < c ,现将△ABC 补成长方形,使得△ABC的两个顶

点为长方形的两个端点,第三个顶点落在长方形的这一边的对边上。                     

     ①这样的长方形可以画       个;

②所画的长方形中哪个周长最小?为什么?

拓展延伸                                                                                                                               

     已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a <b < c ,画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上,G、H分别在边AC、AB上,同样还可画AC、AB边上的内接正方形,问哪条边上的内接正方形面积最大?为什么?

 

 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

(10分)

问题提出

我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.

问题解决

如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.

解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.

∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2

∵a≠b,∴(a-b)2>0.

∴M-N>0.

∴M>N.

类别应用

(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(a、b是正数,且a≠b),试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.

 (2)试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小(b>c).

 

 

 

 

 

 

 

联系拓广

小刚在超市里买了一些物品,用一个长方体的箱子“打包”,这个箱子的尺寸如图4所示(其中b>a>c>0),售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑,吻哪种方法用绳最短?哪种方法用绳最长?请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2011-2012学年江苏盐城盐都区九年级下学期期中质量检测数学试卷(解析版). 题型:解答题

问题提出

我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.

问题解决

如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.

解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.

∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2

∵a≠b,∴(a-b)2>0.

∴M-N>0.

∴M>N.

类比应用

1.已知:多项式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a .试比较M与N的大小.

2.已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边

满足a <b < c ,现将△ABC 补成长方形,使得△ABC的两个顶

点为长方形的两个端点,第三个顶点落在长方形的这一边的对边上。                     

      ①这样的长方形可以画        个;

②所画的长方形中哪个周长最小?为什么?

拓展延伸                                                                                                                               

     已知:如图,锐角△ABC (其中BC为a,AC为b,AB为c)三边满足a <b < c ,画其BC边上的内接正方形EFGH , 使E、F两点在边BC上,G、H分别在边AC、AB上,同样还可画AC、AB边上的内接正方形,问哪条边上的内接正方形面积最大?为什么?

 

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案