Question

15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点B在x轴的正半轴上，已知∠OBA=90°，OB=3，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$．反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点C（m，2）是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上的点，则在x轴上是否存在点P，使得PA+PC最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）首先求得点A关于x轴的对称点的坐标，然后求得直线A′C的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵∠OBA=90°，sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，可设AB=4a，OA=5a，
∴OB═$\sqrt{（5a）^{2}-（4a）^{2}}$=3a，又OB=3，
∴a=1，
∴AB=4，
∴点A的坐标为（3，4），
∵点A在其图象上，
∴4=$\frac{k}{3}$，
∴k=12；
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$；            

（2）在x轴上存在点P，使得PA+PC最小．理由如下：
∵点C（m，2）是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上的点，k=12，
∴2=$\frac{12}{m}$，
∴m=6，即点C的坐标为（6，2）；      
作点A（3，4）关于x轴的对称点A′（3，-4），如图，连结A′C．
设直线A'C的解析式为：y=kx+b，
∵A′（3，-4）与（6，2）在其图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
∴直线A'C的解析式为：y=2x-10，
令y=0，解得x=5，
∴P（5，0）可使PA+PC最小．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数定义，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题．正确求出解析式是解题的关键．