练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（5，0），菱形OABC的顶点B，C都在第一象限，tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α（0°＜∠α＜∠AOC）得到菱形FADE（点O的对应点为点F），EF与OC交于点G，连结AG．
    （1）求点B的坐标．
    （2）当OG=4时，求AG的长．
    （3）求证：GA平分∠OGE．
    （4）连结BD并延长交x轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标．

    分析 （1）如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，构建直角△ABH，所以利用菱形的四条边相等的性质和解该直角三角形得到AH、BH的长度，则易求点B的坐标；
    （2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建直角△OAM和直角△AMG，通过解直角△OAM求得直角边AM的长度，然后结合图形和勾股定理来求AG的长度；
    （3）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建全等三角形：△AOM≌△AFN（ASA），利用该全等三角形的对应边相等得到AM=AN，最后结合角平分线的性质证得结论；
    （4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q，构建相似三角形：△GOA∽△BAP，根据该相似三角形的对应边成比例得到求得GQ的长度．结合已知条件tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，来求边OQ的长度，即可得到点G的坐标．

    解答 解：（1）如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，
    ∵四边形OABC为菱形，
    ∴OC∥AB，
    ∴∠BAH=∠COA．
    ∵tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，
    ∴tan∠BAH=$\frac{4}{3}$．
    又∵在直角△BAH中，AB=5，
    ∴BH=$\frac{4}{5}$AB=4，AH=$\frac{3}{5}$AB=3，
    ∴OH=OA+AH=5+3=8，
    ∴点B的坐标为（8，4）；

    （2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，
    在直角△AOM中，∵tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，OA=5，
    ∴AM=$\frac{4}{5}$OA=4，OM=$\frac{3}{5}$OA=3，
    ∵OG=4，
    ∴GM=OG-OM=4-3=1，
    ∴AG=$\sqrt{A{M}^{2}+G{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$；

    （3）如图1，过点A作AN⊥EF于点N，
    ∵在△AOM与△AFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠ANF=90°}\\{∠AOM=∠F}\\{OA=FA}\end{array}\right.$，
    ∴△AOM≌△AFN（AAS），
    ∴AM=AN，
    ∴GA平分∠OGE．

    （4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q，
    由旋转可知：∠OAF=∠BAD=α．
    ∵AB=AD，
    ∴∠ABP=$\frac{180°-α}{2}$，
    ∵∠AOT=∠F，∠OTA=∠GTF，
    ∴∠OGA=∠EGA=$\frac{180°-α}{2}$，
    ∴∠OGA=∠ABP，
    又∵∠GOA=∠BAP，
    ∴△GOA∽△BAP，
    ∴$\frac{GQ}{BH}$=$\frac{OA}{AP}$，
    ∴GQ=$\frac{5}{7}$×4=$\frac{20}{7}$．
    ∵tan∠AOC=$\frac{4}{3}$，
    ∴OQ=$\frac{20}{7}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{15}{7}$，
    ∴G（$\frac{15}{7}$，$\frac{20}{7}$）．

    点评 本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形以及勾股定理等知识点，解答该题的难点在于作出辅助线，构建相关的图形的性质．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    6．下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（　　）
    A．-x2+y2B．4a2-（a+b）2C．a2-8b2D．x2y2-1

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
    （1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB=EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
    （2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
    （3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    4．在等边△ABC中，
    （1）如图1，点E是等边△ABC的边BC上的动点，连结AE，以AE为边构造如图等边△AED，连结DB，求证：BD∥AC．
    （2）如图2，点E，F是等边△ABC边BC，AB上的动点，连结EF，以EF为边构造如图等边△EFD，连结DB，求证：BD∥AC．
    （3）在（2）的条件下，连结CD，如果AB=2，请问在E，F的运动过程中，CD是否存在最小值？若有请求出；若无请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点C在x轴负半轴上，有∠CAO=30°，点B是抛物线y=$\frac{2}{9}$x2+$\frac{\sqrt{3}}{9}$x-1上的动点．将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，点B，C对应点分别是D，E．
    （1）试写出点C，E的坐标；
    （2）当点B在第二象限时，如图②，若直线BD⊥x轴，求△ABD的面积；
    （3）在点B的运动过程中，能否使得点D在坐标轴上？若能，求出所有符合条件的点B的坐标；若不能，试说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S（千米）与跑步时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：
    （1）求图中a的值；
    （2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟．
    ①求AB所在直线的函数解析式；
    ②该运动员跑完赛程用时多少分钟？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    8．已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$计算．
    例如：求点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离．
    解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
    所以点P（-1，2）到直线y=3x+7的距离为：d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|3×（-1）-2+7|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
    根据以上材料，解答下列问题：
    （1）求点P（1，-1）到直线y=x-1的距离；
    （2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y=$\sqrt{3}$x+9的位置关系并说明理由；
    （3）已知直线y=-2x+4与y=-2x-6平行，求这两条直线之间的距离．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    5．在-2，-1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y=（x-m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（　　）
    A．$\frac{2}{5}$B．$\frac{1}{5}$C．$\frac{1}{4}$D．$\frac{1}{2}$

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    6．若二次函数y=2x2-4x-1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的值为-4．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案