Question

5．解一元二次方程：
①x-2=2（x-2）²
②x²-6x+9=（5-2x）²
③x²+4x-1=0
④x²-6x-16=0 
⑤$\frac{1}{2x}$=$\frac{2}{x+3}$．

Answer 1

分析 ①先移项得到x-2-2（x-2）²=0，然后利用因式分解法解方程；
②把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解；
③首先把方程移项变形为x²+4x=1的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；
④解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因为-16=-8×2，-6=-8+2，所以x²-6x-16=（x-8）（x+2），这样即达到了降次的目的；
⑤观察可得最简公分母是2x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

解答 解：①x-2=2（x-2）²，
x-2-2（x-2）²=0，
（x-2）（1-2x+4）=0，
（x-2）（2x-5）=0，
x-2=0或2x-5=0，
解得x₁=2，x₂=2.5；
②x²-6x+9=（5-2x）²，
（x-3）²=（5-2x）²，
x-3=5-2x或x-3=2x-5
解得：x₁=$\frac{8}{3}$，x₂=2．
③x²+4x-1=0，
移项得x²+4x=1，
配方得x²+4x+4=1+4，
（x+2）²=5，
开方得x+2=±$\sqrt{5}$，
解得x₁=-2+$\sqrt{5}$，x₂=-2-$\sqrt{5}$；
④x²-6x-16=0，
原方程变形为（x-8）（x+2）=0，
x-8=0或x+2=0，
解得x₁=8，x₂=-2；
⑤$\frac{1}{2x}$=$\frac{2}{x+3}$，
x+3=4x，
4x-x=3，
3x=3，
x=1，
检验：把x=1代入2x（x3）≠0，
故原方程的解为：x=1．

点评 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．同时考查了解分式方程．