Question

14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4交x轴于点A（-2，0）和B（B在A右），交y轴于点C，直线y=2kx-12k经过点B，交y轴于点D，CD=OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是第一象限抛物线上的一点，过P点作PH⊥BD于H，设P点的横坐标是t，求当PH的长最大时P点坐标；
（3）在（2）的条件下，将射线PH绕着点P顺时针方向旋转45°交抛物线于点Q，求Q点关于直线PH的对称点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出点B坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）设P（t，-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t+4），由cos∠HPM=cos∠DBO，可得$\frac{PH}{PM}$=$\frac{OB}{BD}$，由此构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
（3）想办法首先求出点Q的坐标，再求出点Q关于直线PH的对称点的坐标即可．

解答 解：（1）∵y=2kx-12k 经过B点，
∴当y=0，x=6，
∴B（6，0），又∵A（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{36a+6b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+4．

（2）如图，过点P作PM∥y轴交BD于点M，设P（t，-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t+4），

∵CD=OD，
当x=0时y=4，
∴C（0，4）
∴OD=2，
∴D（0，2），
∴BD=2$\sqrt{10}$，
设直线BD解析式为y=mx+n，
∴6m+n=0，n=2，
∴y_BD=-$\frac{1}{3}$x+2，
∴M（t，-$\frac{1}{3}$t+2），
∴PM=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{5}{3}$t+2，
∵∠HPM=∠DBO，
∴cos∠HPM=cos∠DBO，
∴$\frac{PH}{PM}$=$\frac{OB}{BD}$，
∴$\frac{PH}{-\frac{1}{3}{t}^{2}+\frac{5}{3}t+2}$=$\frac{6}{2\sqrt{10}}$，
∴PH=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$t²+$\frac{\sqrt{10}}{2}$t+$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴PH=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{49\sqrt{10}}{40}$，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，PH值最大，
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$）．

（3）过点P作PF⊥x轴于点F，过点H作HG⊥PF于点G，BD与PQ交于点N，过N作NE⊥HG于E．

∵∠HPN=45°，PH⊥BD，
∴PH=HN，
∴△PHG≌△HNE，
∴HG=NE，PG=EH，
由（2）得     PH=$\frac{49\sqrt{10}}{40}$，HG=$\frac{49}{40}$PG=$\frac{147}{40}$，
∴EH=$\frac{147}{40}$，EN=$\frac{49}{40}$，
∴N（-$\frac{12}{5}$，$\frac{14}{5}$），P（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$），
∴y_PN=$\frac{1}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{21}{4}}\end{array}\right.$，
∴Q（0，4），易知直线PH的解析式为y=3x-$\frac{9}{4}$，
过点Q垂直PH的直线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+4}\\{y=3x-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{8}}\\{y=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$，
设Q关于PH的对称点为（m，n），
则有$\frac{15}{8}$=$\frac{0+m}{2}$，$\frac{27}{8}$=$\frac{4+n}{2}$，
∴m=$\frac{15}{4}$，n=$\frac{11}{4}$，
∴可知Q点关于PH对称点E（$\frac{15}{4}$，$\frac{11}{4}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会关键二次函数解决最值问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．