Question

【题目】(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系.

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断.AB，AD，DC之间的等量关系______.

(2)同题探究.

①如图②，AD是△ABC的中线，AB=6，AC=4，求AD的范围：

②如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1)AD=AB+DC；(2)①1<AD<5；②AB=AF+CF，证明见解析.

【解析】

(1)利用平行线的性质及角平分线的定义，易证∠BAE=∠F，∠BAE=∠DAF，从而可以推出∠F=∠DAF，再利用等角对等边，可证AD=DF，利用线段中点的定义，可知BE=CE，然后利用AAS证明△ABE≌△FCE，利用全等三角形的对应边相等，可证得AB=CF，再根据DF=DC+CF，可得AB，AD，DC之间的数量关系；

(2)①延长AD至E，使DE=AD，连结BE，利用SAS证得△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质，可得AC=BE，由此将AD，AB，AC转化到一个三角形中，然后利用三角形的三边关系定理，即可求出AD的取值范围；②延长AE交DF的延长线于点G，根据已知易得CE=BE，∠BAE=∠G，再利用 AAS证明△AEB≌△GEC，利用全等三角形的对应边相等可证得AB=GC，然后利用角平分线的定义推出∠FAG=∠G，从而可得到FA=FG，然后根据CG=CF+FG，可证得结论.

解：(1)AD=AB+DC；

理由：延长AE交DC的延长线于点F，

∵AB∥CD，AE平分∠DAB，

∴∠BAE=∠F，∠BAE=∠DAF，

∴∠F=∠DAF，

∴AD=DF，

∵点E是CB的中点，

∴BE=CE，

在△ABE和△FCE中，，

∴△ABE≌△FCE(AAS)，

∴AB=CF，

∵AD=DF=DC+CF，

∴AD=AB+DC；

(2)①延长AD至E，使DE=AD，连结BE，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在△ADC和△EDB中，，

∴△ADC≌△EDB(SAS)，

∴AC=BE，AE=2AD，

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，

∴2<2AD<10，

∴1<AD<5；

②AB=AF+CF；

证明：延长AE交DF的延长线于点G，

∴E是BC的中点，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中，，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB=GC，

∵AE是∠BAF的平分线，

∴∠BAG=∠FAG，

∵∠BAG=∠G，

∴∠FAG=∠G，

∴FA=FG，

∵CG=CF+FG，

∴AB=AF+CF.