Question

如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a-2）²+

b-4

=0．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m值；
（3）过A点的直线y=kx-2k交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为-1，过N点的直线y=

k

2

x-

k

2

交AP于点M，试证明

PM-PN

AM

的值为定值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；
（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥x轴于N，MH⊥y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．
（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．

解答：解：（1）∵（a-2）²+

b-4

=0，
∴a=2，b=4，
∴A（2，0），B（0，4），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：

2k+b=0 b=4

，
解得：k=-2，b=4，
则函数解析式为：y=-2x+4；
（2）如图2，分三种情况：

①如图1，当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中，

∠MNB=∠BOA ∠NMB=∠ABO BM=AB

，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐标为（4，6），
代入y=mx得：m=

3

2

，
②如图2，

当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m=

1

3

，
③如图4，

当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
设M（x，x）代入y=mx得：x=mx，
∴m=1，
答：m的值是

3

2

或

1

3

或1．
（3）解：如图3，结论2是正确的且定值为2，
设NM与x轴的交点为H，过M作MG⊥x轴于G，过H作HD⊥x轴，HD交MP于D点，连接ND，
由y=

k

2

与x轴交于H点，
∴H（1，0），
由y=

k

2

与y=kx-2k交于M点，
∴M（3，k），
而A（2，0），
∴A为HG的中点，
∴△AMG≌△ADH（ASA），
又因为N点的横坐标为-1，且在y=

k

2

上，
∴可得N 的纵坐标为-k，同理P的纵坐标为-2k，
∴ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1
∴N与D关于y轴对称，
∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，
∴PN=PD=AD=AM，
∴

PM-PN

AM

=2．

点评：此题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．