Question

10．如图，△ABC三边上的半圆面积从小到大依次记为S₁，S₂，S₃，若S₁+S₂=S₃，求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 由S₁+S₂=S₃，根据圆的面积公式得出$\frac{1}{8}$πAC²+$\frac{1}{8}$πBC²=$\frac{1}{8}$πAB²，即AC²+BC²=AB²，根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC是直角三角形．

解答 证明：∵S₁+S₂=S₃，S₁=$\frac{1}{2}$π（$\frac{1}{2}$AC）²=$\frac{1}{8}$πAC²，同理S₂=$\frac{1}{8}$πBC²，S₃=$\frac{1}{8}$πAB²，
∴$\frac{1}{8}$πAC²+$\frac{1}{8}$πBC²=$\frac{1}{8}$πAB²，
即AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理和圆的面积的应用，关键是推出$\frac{1}{8}$πAC²+$\frac{1}{8}$πBC²=$\frac{1}{8}$πAB²，注意：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．