Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切，切点分别为D、E．
（1）求⊙O的半径；
（2）如果F为上的一个动点（不与D、E），过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH，有两个结论：①四边形BCHG的周长不变，②∠GOH的度数不变．已知这两个结论只有一个正确，找出正确的结论并证明；
（3）探究：在（2）的条件下，设BG=x，CH=y，试问y与x之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定自变量x的取值范围，并说明当x=y时F点的位置．

Answer 1

解：（1）连接OD、OE、OA，
∵O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切，
∴OD⊥AB，AC⊥OE，
又∵∠BAC=90°，且OD=OE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴OE=AE，
∴∠OAE=45°；
又∵∠C=45°，
∴OE=2，△OAC为等腰直角三角形，
AE=EC=AC=×4=2，即⊙O的半径是2；

（2）②的结论正确；理由如下：
连接OF、OG、OH，
由题意，GD、GF以及HF、HE与圆相切，
所以GD=GF，HE=HF，∠DOG=∠FOG，∠FOH=∠HOE，
而∠DOE=90°，所以可以得到∠GOH==45°．

（3）BG=x，CH=y，
易得：GF=GD=x-2，FH=HE=y-2，AG=4-x，AE=4-y，
所以GH=x+x-4，
由∠A=90°，可得GH²=AG²+AH²，代入上述各数值，
化简可得y=，由AG≥0，AE≥0，可得x≤0，y≤4，所以2≤x≤4，
当x=y时，有AG=AH，由于AB=AC所以可得GH与BC平行，连接AO，
设AO交GH于F'，有∠OFH=90°，
所以F'为切点F，即F为AO与圆的交点同时F是的中点．
分析：（1）连接OD、OE、OA；构造正方形和直角三角形，利用勾股定理和正方形的性质解答；
（2）连接OF、OG、OH；根据切线长定理和圆的半径相等，构造全等三角形，即△DOG≌△FOG，△FOH≌△EOH；得到相等的角∠DOG=∠FOG，∠FOH=∠EOH；进而得到∠GOH==45°；
（3）当x=y时，有AG=AH，根据平行线分线段成比例定理的逆定理，判定GH∥BC，根据切线性质，判断F为AO与圆的交点同时F是的中点．
点评：本题是一道关于圆的综合题，考查了切线的性质、和圆相关的正方形的性质、切线长定理以及结合切线长定理的点的存在性问题，范围较广，有一定的开放性，有利于培养同学们的发散思维能力．