Question

10．在正△ABC内有一点P，PA=2，PB=2$\sqrt{3}$，PC=4，则CB的长为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 先把△ABP绕点A逆时针旋转60°可得到△CBD，如图，则利用旋转的性质得BD=BP=2$\sqrt{3}$，∠PBD=60°，CD=AP=2，于是可判断△PBD为等边三角形，从而得到PD=PB=2$\sqrt{3}$，∠PDB=60°，再利用勾股定理的逆定理可证明∠PDC=90°，作BH⊥CD于H，如图，则∠BDH=30°，在Rt△BDH中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出BH=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，DH=$\sqrt{3}$BH=3，则CH=CD+DH=5，然后在Rt△BCH中根据勾股定理可计算出BC．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴把△ABP绕点A逆时针旋转60°可得到△CBD，如图，
∴BD=BP=2$\sqrt{3}$，∠PBD=60°，CD=AP=2，
∴△PBD为等边三角形，
∴PD=PB=2$\sqrt{3}$，∠PDB=60°，
在△PCD中，∵PC=2，PD=2$\sqrt{3}$，PC=4，
而2²+（2$\sqrt{3}$）²=4²，
∴PC²+PD²=PC²，
∴△PCD为直角三角形，∠PDC=90°，
∴∠BDC=60°+90°=150°，
作BH⊥CD于H，如图，∵∠BDH=180°-∠BDC=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，DH=$\sqrt{3}$BH=3，
∴CH=CD+DH=2+3=5，
在Rt△BCH中，BC=$\sqrt{B{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故答案为2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是利用旋转由三条已知线段构成一个直角三角形．