Question

以x为自变量的二次函数y=-x²+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，
（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；
（2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据C点坐标，可确定m的值，从而得到抛物线的解析式，令函数解析式的y=0，即可求得A、B的坐标．
（2）根据函数图象可知，显然∠PAQ不能是直角，已知以A，P，Q三点为顶点的三角形与△AOC相似但不全等，因此P、C不重合，即∠PAQ≠∠CAO，所以只考虑∠PAQ=∠ACO的情况，过A作∠PAQ=∠ACQ，交抛物线于点P，然后分两种情况：
①∠PQA=∠COA=90°，此时PQ⊥x轴，可设出点Q的坐标，根据抛物线的解析式可表示出点P的坐标，进而根据相似三角形的比例线段求出点Q、P的坐标；
②∠APQ=∠COA=90°，设出点Q的坐标，然后表示出PA的长，根据相似三角形的比例线段即可求出此时点Q的坐标．

解答：解：（1）根据题意，把点C（0，3）代入y=-x²+2x+m，
解得m=3，
即二次根式的解析式为y=-x²+2x+3，
即-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点A，点B的坐标分别是（-1，0），（3，0）．

（2）假设存在符合题意的点P、Q，一定是∠PAQ=∠ACO；
∵若PAQ=∠CAO，则点P与点C重合，
点Q与点O重合，
∴△PAQ≌△CAO，不合题意；
∵若∠PAQ=∠COA=90°，显然P不在抛物线上，
过A作AP，使∠PAO=∠ACO且与抛物线交于点P，
①若过点P作PQ₁⊥x轴交x轴于Q₁点，
设Q1（x₁，0），P（x₁，y₁），
∵∠CQ₁A=∠AOC，则△PQ₁A∽△AOC，
∴

AQ1

OC

=

Q1P

AO

，
即

x1+1

3

=-x12+2x1+3，
解得x₁=

8

3

，代入抛物线的解析式中，
得y₁=

11

9

，
∴Q₁（

8

3

，0)，P（

8

3

，

11

9

)，存在△PQ₁A∽△AOC；
②由①所得点P作PQ₂⊥AP交x轴于Q₂，
设Q₂（x₂，0）；
∵∠APQ₂∠COA，则△Q₂PA∽△AOC，
∴

AQ2

CA

=

PA

OC

，

x2+1

10

=

( 8 3 +1)2+( 11 9 )2

3

，x2=

83

27

．
∴Q₂（

83

27

，0），存在△PQ₂A∽△AOC；
综上所述，存在符合条件的相似三角形，且Q、P的坐标为：Q₁（

8

3

，0)，Q₂（

83

27

，0），P（

8

3

，

11

9

)．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、相似三角形的判定和性质等知识．（3）题中，应根据相似三角形的不同对应顶点分类讨论，这是此题的难点．