Question

如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质可知：AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，得到△ABE≌△CDF，所以AE∥CF，AE=CF，可证四边形AECF为平行四边形；
（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．

解答：（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，
∴AE∥CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
∴四边形AECF为平行四边形．

（2）解：△ACG是等腰三角形．
理由如下：∵AE∥FG，
∴∠G=∠GAE．
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG．
又OA=

1

2

AC=

1

2

BD=OD，
∴∠ODA=∠DAO．
∵∠BAE与∠ABE互余，∠ADB与∠ABD互余，
∴∠BAE=∠ADE．
∴∠BAE=∠DAO，
∴∠EAG=∠CAG，∴∠CAG=∠G，
∴△CAG是等腰三角形．

点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．