Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D、E分别在BC、AC上（点D不与B、C点重合），且∠ADE=∠B，设BD=x，AE=y．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出定义域．
（2）点D在BC上运动的过程中，△ADE是否有可能成为一个等腰三角形？若有可能，请求出当△ADE是等腰三角形时x的值；若不可能，请简要说明理由．
（3）点D在BC上运动的过程中，△ADE是否有可能成为一个Rt△？若有可能，请求出当△ADE为Rt△时x的值；若不可能，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，易得∠B=∠C，又由∠ADE=∠B=α，根据三角形外角的性质，可证得∠BAD=∠EDC，继而证得结论；
（2）根据等腰三角形的判定与性质，可得∠ADC与∠DAC的关系，根据三角形的外角的性质，可得∠AED的大小，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（3）因为∠ADE=∠C为定角，D、E为动点，所以△ADE为直角三角形有两种情况：①当∠AED=90°时，△AED为直角三角形，如图1，根据△ADC∽△BAC求出x的长；
②当∠DAE=90°时，△DAE为直角三角形，如图2，作辅助线，根据△AFD∽△CFA求出x的长．

解答 解：（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，
∵AB=AC=5，BC=8，BD=x，AE=y
∴CE=AC-AE=5-y，CD=BC-BD=8-x，
∴$\frac{5}{8-x}=\frac{x}{5-y}$，
∴y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{8}{5}$x+5=$\frac{1}{5}$（x-4）²+$\frac{9}{5}$，
（2）当DA=DE时，
∴∠DAE=∠AED，
AB=AC=5，
∴∠B=∠C=∠ADE．
∵∠AED=∠EDC+∠C=∠EDC+∠ADE，
∴∠DAE=∠EDC+∠ADE，
∴∠EAD=∠ADC，
∴CD=AC=5
∴x=BD=BC-CD=3
当x的长为3时，△ADE是等腰三角形，
当AE=DE时，△ADE是等腰三角形，即∠DAE=∠ADE=∠B
又∠ACD=∠BCA，
∴△ADC∽△BAC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，
∴DC•BC=AC²，
∴DC=$\frac{25}{8}$，
∴x=BD=8-DC=$\frac{39}{8}$；
综上所述：当x=$\frac{39}{8}$或3时，△ADE是等腰三角形，
（3∵∠ADE=∠B是定值，
分两种情况：
①当∠AED=90°时，△DAE为直角三角形，如图1，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DAE=∠DAC，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∴AD⊥BC，
∴x=BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4；
②当∠DAE=90°时，△DAE为直角三角形，如图2，
∴∠DAF+∠CAF=90°，
过点A作AF⊥BC，
∴∠CAF+∠C=90°，
∴∠DAF=∠C，
∵∠AFD=∠CFA=90°，
∴△AFD∽△CFA，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{FD}{AF}$，
在Rt△ACF中，CF=BF=$\frac{1}{2}$BC=4，AC=5，
∴AF=3，
∴$\frac{3}{4}=\frac{FD}{3}$，
∴FD=$\frac{9}{4}$，
∴x=BD=BF-FD=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$．
∴综上所述：当x=4或$\frac{7}{4}$时，△ADE是直角三角形．

点评 本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形、相似三角形的性质和判定，明确等边对等角和等角对等边，相似三角形常用的判定是：两角对应相等的两个三角形相似，在几何证明中常利用相似得比例式求边的长度；同时又运用了同角的余角求角相等；本题还运用了分类讨论的思想，尤其动点形成的三角形是直角三角形或等腰三角形时，要根据具体问题分情况进行讨论．