Question

拓展与探索：
如图，在正△ABC中，点E在AC上，点D在BC的延长线上．

（1）如图（1），AE=EC=CD，求证：BE=ED；
（2）若E为AC上异于A、C的任一点，
①当AE=CD时，如图（2），（1）中结论是否仍然成立？为什么？
②当EC=CD时呢？
（3）若E为AC延长线上一点，且AE=CD，试探索BE与ED间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的三线合一的性质可得∠EBC=30°，在△ECD中，易得∠D=30°，∴∠EBC=∠D，∴BE=ED；（2）①过点E作EF∥BC，交AB于F，可证明△EFB≌△DCE（SAS），∴BE=ED；②如果EC=CD，则∠D=30°，而只有E为中点时，∠EBC=30°，当E为AC上异于A、C的任一点，∠EBC＞30°或＜30°，大角对大边可得BE＜ED或BE＞ED；（3）过点E作EF∥AB，交CD于F，可得△CEF是等边三角形，∴CF=CE=EF，又AE=CD，∴AC=FD，即BC=FD，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=ED．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，AE=CE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC=30°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠ECD=120°，
又∵CE=CD，
∴∠D=∠CED=30°，
∴∠EBC=∠D=30°，
∴BE=ED（等角对等边）；
（2）
①过点E作EF∥BC，交AB于F，
∵△ABC是等边三角形，AE=CD，
∴△AEF是等边三角形，AF=AE=EF=CD，
∴∠BFE=∠ECD=120°，BF=EC，
在△EFB和△DCE中

EF=CD ∠BFE=∠ECD BF=EC

∴△EFB≌△DCE（SAS），
∴BE=ED；
②∵EC=CD，
∴∠D=30°，
由（1）可知只有E为中点时，∠EBC=30°，
∴当E为AC上异于A、C的任一点，∠EBC＞30°或＜30°，
∴BE＜ED或BE＞ED（大角对大边）
即当EC=CD时，（1）中的结论不成立；
（3）
结论：BE=ED．
证明：过点E作EF∥AB，交CD于F，可得△CEF是等边三角形，
∴CF=CE=EF，
又∵AE=CD，
∴AE-CE=CD-CF，
即AC=FD，
又∵AC=BC，
∴BC=FD，
在△BCE和△DFE中，

CE=FE ∠BCE=∠DFE=180°-60°=120° BC=FD

∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=ED．

点评：本题考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等的关键是作辅助线．