Question

某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500㎏，销售单价每涨1元，月销售量就减少10㎏，针对这种水产品，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量与月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式；
（3）当销售单价为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
（4）商店想在销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润刚好达到8000元，销售单价应为多少？

Answer 1

分析：（1）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500-（销售单价-50）×10．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；
（2）方法同（1）只不过将55元换成了x元，求的月销售利润变成了y；
（3）得出（2）的函数关系式后根据函数的性质即可得出函数的最值以及相应的自变量的值．
（4）根据月销售利润刚好达到8000元，得出y=8000，进而解方程求出即可．

解答：解：（1）500-10（55-50）=450，450×（55-40）=6750，
答：当销售单价定为每千克55元时，月销售量为450kg，月销售利润为6750元．

（2）由题意得  y=（x-40）[500-10（x-50）]，
即y=-10x²+1400x-40000，

（3）由（2）得y=-10（x²-140x）-40000，
=-10（x-70）²+9000；  
∴当月销售单价为每千克70元时，月销售利润最大，最大利润为9000元．

（4）当y=8000时，由（3）得   8000=-10（x²-140x）-40000，
整理得（x-70）²=100，
解之得x₁=60，x₂=80，
又由销售成本不超过10000元得40[500-10（x-50）]≤10000，
解之得x≥75，
故x₁=60应舍去，则x=80；
答：销售单价应定为每千克80元．

点评：此题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．