Question

已知AB为半圆的直径，弦AD、BC相交于M，点E在AM上，且∠CEM=∠B，AB=1，则cos∠AMC的值等于线段（　　）的长．

A．AB

B．CE

C．AM

D．CM

Answer 1

分析：连接BD，CD，利用同弧所对的圆周角相等得到∠B=∠ADC，再由已知的∠CEM=∠B，利用等量代换得到一对角相等，利用等角对等边得到CE=CD，由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，在直角三角形BDM中，利用锐角三角函数定义表示出cos∠DMB，由对顶角相等得到cos∠DMB=cos∠AMC，再由∠B=∠ADC及一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形CMD与三角形ABM相似，由相似得比例，可得出CD：AB即为cos∠AMC的值，将AB=1，CD=CE代入即可得到其值为CE，得到正确的选项．

解答：解：连接BD，CD，如图所示：
∵∠B和∠ADC都对

AC

，
∴∠B=∠ADC，又∠CEM=∠B，
∴∠CEM=∠ADC，
∴CE=CD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△MBD中，cos∠DMB=

DM

BM

，
∵∠AMC=∠DMB，
∴cos∠AMC=cos∠DMB=

DM

BM

，
∵∠ADC=∠B，∠CMD=∠AMB，
∴△CMD∽△AMB，
∴

MD

MB

=

CD

AB

，又AB=1，
∴

MD

MB

=CD，又CD=CE，
则cos∠AMC=

MD

MB

=CE．
故选B

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的判定，以及圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．