●观察计算当a=5.b=3时.与的大小关系是＞．当a=4.b=4时.与的大小关系是=．●探究证明如图所示.△ABC为圆O的内接三角形.AB为直径.过C作CD⊥AB于D.设AD=a.BD=b．(1)分别用a.b表示线段OC.CD,(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系．●归纳结论根据上面的观察计算.探究证明.你能得出与的大小关系是:．●实践应用要制作面积为1平方米的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2011•德州）●观察计算
当a=5，b=3时，

与

的大小关系是

＞

．
当a=4，b=4时，

与

的大小关系是

．

●探究证明
如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD=a，BD=b．
（1）分别用a，b表示线段OC，CD；
（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出

与

的大小关系是：

．
●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

解：●观察计算：

＞

，

．（2分）
●探究证明：
（1）∵AB=AD+BD=2OC，
∴

（3分）
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD．
∴△ACD∽△CBD．（4分）
∴

．
即CD²=AD•BD=ab，
∴

．（5分）
（2）当a=b时，OC=CD，

；
a≠b时，OC＞CD，

＞

．（6分）
●结论归纳：

．（7分）
●实践应用
设长方形一边长为x米，则另一边长为

米，设镜框周长为l米，则

≥

．（9分）
当

，即x=1（米）时，镜框周长最小．
此时四边形为正方形时，周长最小为4米．（10分）

略

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小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段
圆弧，即

和

，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧
与直线l₁围成的图形面积等于扇形AOO₁的面积、△AO₁B₁的面积和扇形B₁O₁O₂的面积之
和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l₂上，OA
边与直线l₂重合，然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到
了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处；小慧又将正方形
纸片AO₁C₁B₁绕顶点B₁按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后．她
提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并
求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l₂围成图形的面积；若正方形纸片OA BC
按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是