【题目】对于二次函数和一次函数,我们把 称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线E.现有点A(1,0)和抛物线E上的点B(2,n),请完成下列任务:
(尝试)
(1)当t=2时,抛物线的顶点坐标为 .
(2)判断点A是否在抛物线E上;
(3)求n的值.
(发现)通过(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,定点的坐标 .
(应用)二次函数是二次函数和一次函数 的一个“再生二次函数”吗?如果是,求出t的值;如果不是,说明理由.
【答案】尝试:(1)(,-).(2)点A(1,0)在抛物线l上.(3)n=-1.
发现:(1,0)、(2,-1).
应用:不是,理由见解析
【解析】
尝试:(1)将t的值代入“再生二次函数”中,通过配方可得到顶点的坐标;
(2)将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可;
(3)已知点B在抛物线E上,将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解,即可得到n的值.
发现:将抛物线l展开,然后将含t值的式子整合到一起,令该式子为0(此时无论t取何值都不会对函数值产生影响),即可求出这个定点的坐标.
应用:将发现中得到的两个定点坐标代入二次函数中进行验证即可.
解:尝试:
(1)∵将t=2代入抛物线l中,得:=2x27x+5=2(x)2,
∴此时抛物线的顶点坐标为:(,-).
(2)∵将x=1代入y=2x27x+5,得 y=0,
∴点A(1,0)在抛物线l上.
(3)将x=2代入抛物线 y=2x27x+5的解析式中,得:
n=-1.
发现:
∵将抛物线E的解析式展开,得:
=t(x1)(x-3)(x-1)+t(x-1)= t(x1)(x-2)(x-1)
∴抛物线l必过定点(1,0)、(2,-1).
应用:将x=1代入,y=0,即点A在抛物线上.
将x=2代入,计算得:y=6≠-1,
即可得抛物线不经过点B,
二次函数不是二次函数和一次函数y=x+1的一个“再生二次函数”.
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【题目】某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区,已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售额相同,3件甲种商品比2件乙种商品的销售额多1500元.
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元?
(2)若甲、乙两种商品的销售总额不低于5400万元,则至少销售甲种商品多少万件?
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【题目】一跨河桥,桥拱是圆弧形,跨度(AB)为16米,拱高(CD)为4米,求:
(1)桥拱半径.
(2)若大雨过后,桥下河面宽度(EF)为12米,求水面涨高了多少?
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【题目】如图,已知∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数的图象过点,反比例函数的图象过点A
(1)求和的值.
(2)过点B作BC∥x轴,与双曲线交于点C,求△OAC的面积.
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【题目】如图,已知二次函数的图象过点和点,对称轴为直线.
求该二次函数的关系式和顶点坐标;
结合图象,解答下列问题:
①当时,求函数的取值范围.
②当时,求的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线和直线l:y=kx+b,点A(-3,-3),B(1,-1)均在直线l上.
(1)若抛物线C与直线l有交点,求a的取值范围;
(2)当a=-1,二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为-4,求m的值;
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,请直接写出a的取值范围.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:①b2﹣4ac>0; ②abc>0; ③8a+c<0; ④9a+3b+c>0.其中,正确结论的个数( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】求解体验:
(1)已知抛物线 y=﹣x2+bx﹣3 经过点(﹣1,0),则 b= ,顶点坐标为 ,该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是 .
抽象感悟:
我们定义:对于抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0),以 y 轴上的点 M(0,m)为中心,作该抛物线关于点 M 对称的 抛物线 y′,则我们又称抛物线 y′为抛物线 y 的“衍生抛物线”,点 M 为“衍生中心”.
(2)已知抛物线 y=﹣x2﹣2x+5 关于点(0,m)的衍生抛物线为 y′,若这两条抛物线有交点,求 m 的取值范 围.
问题解决:
(3)已知抛物线 y=ax2+2ax﹣b(a≠0)
①若抛物线 y 的衍生抛物线为 y′=bx2﹣2bx+a2(b≠0),两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求 a、b 的值及衍生中心的坐标;
②若抛物线 y 关于点(0,k+12)的衍生抛物线为 y1,其顶点为 A1;关于点(0,k+22)的衍生抛物线为 y2,其顶点为 A2;…;关于点(0,k+n2)的衍生抛物线为 yn,其顶点为 An…(n 为正整数).求 An An+1 的长(用含 n 的式子表示).
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【题目】设a、b是任意两个实数,用max{a,b}表示a、b两数中较大者,例如:max{﹣1,﹣1}=﹣1,max{1,2}=2,max{4,3}=4,参照上面的材料,解答下列问题:
(1)max{5,2}= ,max{0,3}= ;
(2)若max{3x+1,﹣x+1}=﹣x+1,求x的取值范围;
(3)求函数与y=﹣x+2的图象的交点坐标,函数的图象如图所示,请你在图中作出函数y=﹣x+2的图象,并根据图象直接写出max{﹣x+2,}的最小值.
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