【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第二象限内作正方形ABCD.
(1)求点A、B的坐标,并求边AB的长;
(2)求点C和点D的坐标;
(3)在x轴上找一点M,使△MDB的周长最小,请求出M点的坐标,并直接写出△MDB的周长最小值.
【答案】(1)A(﹣4,0),B(0,2);AB=2;(2)D(﹣6,4),C(﹣2,6);(3)M坐标为(﹣2,0),△MDB的周长为2+6.
【解析】
(1)对于直线解析式,分别令x=0与y=0求出对应y与x的值,确定出A与B的坐标,得到OA与OB的长,利用勾股定理求出AB的长即可;
(2)过D作DE垂直于x轴,过C作CF垂直于y轴,根据四边形ABCD的正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用同角的余角相等得到三个角相等,利用AAS得到△EDA,△AOB以及△BFC全等,利用全等三角形的对应边相等得到DE=OA=BF=4,AE=OB=CF=2,进而求出OE与OF的长,即可确定出D与C的坐标;
(3)找出B关于y轴的对称点B′,连接DB′,交x轴于点M,此时BM+MD=DM+MB′=DB′最小,即△BDM周长最小,设直线DB′解析式为y=kx+b,把D与B′坐标代入求出k与b的值,确定出直线DB′解析式,令y=0求出x的值,确定出此时M的坐标即可.
解:(1)对于直线y=x+2,
令x=0,得到y=2;令y=0,得到x=﹣4,
∴A(﹣4,0),B(0,2),即OA=4,OB=2,
则AB==2;
(2)过D作DE⊥x轴,过C作CF⊥y轴,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=∠BFC=∠DEA=∠AOB=90°,
∵∠FBC+∠ABO=90°,∠ABO+∠BAO=90°,∠DAE+∠BAO=90°,
∴∠FBC=∠OAB=∠EDA,
∴△DEA≌△AOB≌△BFC(AAS),
∴AE=OB=CF=2,DE=OA=FB=4,
即OE=OA+AE=4+2=6,OF=OB+BF=2+4=6,
则D(﹣6,4),C(﹣2,6);
(3)如图所示,连接BD,找出B关于y轴的对称点B′,连接DB′,交x轴于点M,此时BM+MD=DM+MB′=DB′最小,即△BDM周长最小,
∵B(0,2),
∴B′(0,﹣2),
设直线DB′解析式为y=kx+b,
把D(﹣6,4),B′(0,﹣2)代入得:,
解得:k=﹣1,b=﹣2,
∴直线DB′解析式为y=﹣x﹣2,
令y=0,得到x=﹣2,
则M坐标为(﹣2,0),
此时△MDB的周长为2+6.
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【题目】为了解某校九年级学生的身高情况,随机抽取部分学生的身高进行调查,利用所得数据绘成如图统计图表:
频数分布表
身高分组 | 频数 | 百分比 |
x<155 | 5 | 10% |
155≤x<160 | a | 20% |
160≤x<165 | 15 | 30% |
165≤x<170 | 14 | b |
x≥170 | 6 | 12% |
总计 | 100% |
(1)填空:a=____,b=____;
(2)补全频数分布直方图;
(3)该校九年级共有600名学生,估计身高不低于165cm的学生大约有多少人?
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【题目】如图,在ABCD中,E是对角线BD上的一点,过点C作CF∥DB,且CF=DE,连接AE,BF,EF.
(1)求证:△ADE≌△BCF;
(2)若∠ABE+∠BFC=180°,则四边形ABFE是什么特殊四边形?说明理由.
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【题目】如图,某高楼顶部有一信号发射塔,在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为∠α=48°和∠β=65°,矩形建筑物宽度AD=20m,高度CD=30m,则信号发射塔顶端到地面的高度FG为__米(结果精确到1m).
参考数据:sin48°=0.7,cos48°=0.7,tan48°=1.1,cos65°=0.4,tan65°=2.1
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【题目】如图,O是坐标原点,过点A(﹣1,0)的抛物线y=x2﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B,与y轴交于点C,其顶点为D点.
(1)求b的值以及点D的坐标;
(2)求△BCD的面积;
(3)连接BC、BD、CD,在x轴上是否存在点P,使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(4)在抛物线上是否存在点Q,使得以A、C、Q为顶点且以AC为直角边的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知关于x的方程m x2-(m+2)x+2=0(m≠0).
(1)求证:无论m为何值时,这个方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°, BC∥x轴,抛物线y=ax2-2ax+3经过△ABC的三个顶点,并且与x轴交于点D、E,点A为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接CD,在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形,若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】为发展学生的核心素养,培养学生的综合能力,某学校计划开设四门选修课:乐器、舞蹈、绘画、书法.学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).对调查结果进行整理,绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有 人,在扇形统计图中,m的值是 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在被调查的学生中,选修书法的有2名女同学,其余为男同学,现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动,请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.
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