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11.如图,等腰Rt△ABC中,∠A=90°,L为BC中点,LOVE为正方形且V在AC上,若BO=$\sqrt{3}$CE,BC=4,求正方形LOVE的面积.

分析 注意到∠VCL=$\frac{1}{2}$∠VEL,EV=EL,由此得出EC=EV=EL,过点O、E作BC垂线,垂足分别为H、G,则易证△OHL≌△LGE,从而算出OH=LG=GC=1,
设正方形的边长为x,利用BH+HL=2建立方程,求出x的平方即可.

解答 解:∵∠VCL=$\frac{1}{2}$∠VEL,EV=EL,
∴点C在以E为圆心EV为半径的圆周上,
即EC=EV=EL,
过点O、E作BC垂线,垂足分别为H、G,如图,

则LG=GC,
∵∠HOL+∠OLH=90°=∠OLH+∠GLE,
∴∠HOL=∠GLE,
在△OHL和△LGE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠OHL=∠LGE}\\{∠HOL=∠GLE}\\{OL=LE}\end{array}\right.$
∴△OHL≌△LGE,
设正方形OLEV的边长为x,则BO=$\sqrt{3}$x,
而OH=LG=CG=$\frac{1}{2}$CL=1,
∴$\sqrt{3{x}^{2}-1}+\sqrt{{x}^{2}-1}=2$,
解得x2=4±2$\sqrt{2}$,
∴正方形LOVE的面积为4-2$\sqrt{2}$.

点评 本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解无理方程等重要知识点,难度较大,是一个经典几何好题.观察到∠VCL=$\frac{1}{2}$∠VEL,EV=EL,从而得出EC=EV=EL是解决本题的突破口和关键.

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