Question

如图，已知?ABCD，AC与BD相交于点E，AF∥BD，FD∥AC．
（1）证明：四边形AEDF是平行四边形；
（2）当?ABCD是菱形时，试判定?AEDF是怎样的特殊平行四边形，并证明你的结论；
（3）?AEDF可能是正方形吗？如果可能，指出此时?ABCD是怎样的特殊平行四边形，并证明你的结论；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据“两组对边平行的四边形是平行四边形”进行证明；
（2）根据“有一内角是直角的平行四边形是矩形”进行解答；
（3）根据“对角线相等且垂直的平行四边形是正方形”进行解答．
解答：（1）证明：∵AF∥BD，FD∥AC，
∴AF∥ED，FD∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形；

（2）解：当?ABCD是菱形时，?AEDF是矩形；
理由如下：∵?ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
∴∠AED=90°，
∴?AEDF是矩形；

（3））?AEDF有可能是正方形；理由如下：
∵?AEDF是正方形，
∴AE=ED，AE⊥ED．
∵AE=EC，BE=ED，
∴AC=BD，即?ABCD的对角线AC、BD相等且垂直，
∴?ABCD是正方形．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形与菱形的判定．正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．