Question

已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：四边形ABED为矩形；
（2）若AB=4， ，求CF的长．

Answer 1

（1）证明见解析（2）2

（1）证明：∵⊙D与AB相切于点A，∴AB⊥AD。
∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD。
∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°。
∴四边形ABED为矩形。
（2）解：∵四边形ABED为矩形，∴DE=AB=4。
∵DC=DA，∴点C在⊙D上。
∵D为圆心，DE⊥BC，∴CF=2EC。
∵，设AD=3k（k＞0）则BC=4k。∴BE=3k，EC=BC－BE=4k－3k=k，DC=AD=3k。
由勾股定理得DE²＋EC²=DC²，即4²＋k²=（3k）²，∴k²=2。
∵k＞0，∴k=。∴CF=2EC=2。
（1）根据AD∥BC和AB切圆D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出结论。
（2）根据矩形的性质求出AD=BE=AB=DE=4，根据垂径定理求出CF=2CE，设AD=3k，则BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程，求出k的值，即可求出答案