Question

8．如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．
（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；
（2）①当AD与BC满足条件AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；
②当AD与BC满足条件BC=$\frac{2}{3}$AD时，四边形EFHI是菱形．

Answer 1

分析 （1）证出EF、HI分别是△ABC、△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，HI∥BC且PQ=$\frac{1}{2}$BC，进而可得EF∥HI且EF=HI．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①由三角形中位线定理得出FH∥AD，再证出EF⊥FH即可；
②与三角形重心定理得出AG=$\frac{2}{3}$AD，证出AG=BC，由三角形中位线定理和添加条件得出FH=EF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC．
∵H、I分别是BG、CG的中点．，
∴HI是△BCG的中位线，
∴HI∥BC且HI=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF∥HI且EF=HI．
∴四边形EFHI是平行四边形．
（2）解：①当AD与BC满足条件 AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：
同（1）得：FH是△ABG的中位线，
∴FH∥AG，FH=$\frac{1}{2}$AG，
∴FH∥AD，
∵EF∥BC，AD⊥BC，
∴EF⊥FH，
∴∠EFH=90°，
∵四边形EFHI是平行四边形，
∴四边形EFHI是矩形；
故答案为：AD⊥BC；
②当AD与BC满足条件BC=$\frac{2}{3}$AD时，四边形EFHI是菱形；理由如下：
∵△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，
∴AG=$\frac{2}{3}$AD，
∵BC=$\frac{2}{3}$AD，
∴AG=BC，
∵FH=$\frac{1}{2}$AG，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴FH=EF，
又∵四边形EFHI是平行四边形，
∴四边形EFHI是菱形；
故答案为：BC=$\frac{2}{3}$AD．

点评 此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定与性质，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．