Question

【题目】A是直线x=1上一个动点，以A为顶点的抛物线y1=a(x﹣1)2+t和抛物线y2=ax2交于点B(A，B不重合，a是常数)，直线AB和抛物线y2=ax2交于点B，C，直线x=1和抛物线y2=ax2交于点D．(如图仅供参考)

(1)求点B的坐标(用含有a，t的式子表示)；

(2)若a＜0，且点A向上移动时，点B也向上移动，求的范围；

(3)当B，C重合时，求的值；

(4)当a＞0，且△BCD的面积恰好为3a时，求的值．

Answer 1

【答案】(1) 点B坐标为(，)；(2)＞﹣1 ；(3) =﹣3；(4) 的值为﹣5或3

【解析】

（1）把两抛物解析式联立方程组，求得的解（含a、t的式子）即为点B坐标．

（2）由于A向上移动时，点B也向上移动，即点B纵坐标的值随点A纵坐标的值变大而变大，所以yB＝随着t的增大而增大，把yB看作关于t的二次函数，可知当a＜0时开口向下，故在对称轴左侧即t＜a，yB随着t的增大而增大，利用不等式性质即求得≥1且≠1．

（3）以点A、B坐标用待定系数法求直线AB解析式，在把直线AB和抛物线y2联立方程组另一交点C的坐标．

（4）把x＝1代入y2＝ax2求得点D坐标，发现点C、D纵坐标相等，即CD∥x轴，CD＝2，所以△BCD面积等于CD与点B到CD距离乘积的一半．又点B到CD距离即点B与点C纵坐标之差，需分类讨论再结合a＜0计算．

解：(1)∵解得：

∴点B坐标为(，)

(2)∵点A(1，t)向上移动，点B(，)也向上移动

∴yB=随着t的增大而增大

∵yB=可看作是yB关于t的二次函数

∴当a＜0时，此二次函数的图象开口向下，在t=﹣a时取得最大值为0

∴t＜﹣a，yB随着t的增大而增大

∴＞﹣1

(3)设直线AB解析式为y=kx+b∴ 解得：

∴直线AB：y=x+

∵ 解得： (即点B)

∴直线AB和抛物线y2=ax2另一交点C(﹣1，a)

∵B，C重合

∴

∴a+t=﹣2a

∴3a=﹣t

∴=﹣3

(4)∵直线x=1和抛物线y2=ax2交于点D

∴D(1，a)

∴CD∥x轴，CD=2

∴S△BCD=CD|yB﹣yC|=|﹣a|=3a

①当﹣a＞0时，﹣a=3a

整理得：15a2﹣2at﹣t2=0

∴(5a+t)(3a﹣t)=0

∴t=﹣5a或t=3a

∴=﹣5或=3

②当﹣a＜0时，﹣+a=3a

整理得：﹣(a+t)2=8a2

∵a＞0

∴此式子不成立

综上所述，的值为﹣5或3．