Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=60°，H为边AC，AB上的高BD，CE的交点，在BD上取点M，使BM=CH．
（1）求证：∠BOC=∠BHC；
（2）求证：△BOM≌△COH；
（3）求的值．

Answer 1

解：（1）∵∠BAC=60°，∠BOC与∠BAC为所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
又∵BD、CE为三角形的高，
∴∠BHC=∠DHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠BOC=∠BHC；

（2）∵∠BOC=∠BHC，
∴B、O、H、C四点共圆，∠OBM=∠OCH，
∵O为△ABC的外心，
∴OB=OC，
又∵BM=CH，
∴△BOM≌△COH；

（3）作OG⊥BD，垂足为G，由（2）可知OM=OH，∠BOM=∠COH，
∴∠MOH=∠BOC=120°，∠OHG=30°，
在Rt△OHG中，
HG=OH•cos30°=OH，
∴MH=2HG=OH，
∴=．
分析：（1）已知∠BAC=60°，∠BOC与∠BAC为所对的圆心角和圆周角，根据圆周角定理可求∠BOC度数，BD、CE为三角形的高，利用互余关系可求∠BHC的度数，可得相等关系；
（2）由（1）可证B、O、H、C四点共圆，根据圆周角定理可证∠OBM=∠OCH，O为△ABC的外心，有OB=OC，已知BM=CH，可证△BOM≌△COH；
（3）作OG⊥BC，垂足为G，由（2）可知OM=OH，∠BOM=∠COH，可证∠MOH=∠BOC=120°，则∠OHG=30°，解Rt△OHG求OH与HG的关系，再根据MH=2HG求MH与OH的关系．
点评：本题考查了三角形的外接圆、四点共圆的判定，等腰三角形的判定与性质和解直角三角形等知识的综合应用．