Question

【题目】如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．

（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，

①求证：PE＝PF．

②若DF＝EF，求∠BAC的度数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②∠BAC＝45°

【解析】

（1）解直角三角形求出AB，再证明∠AFB＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．

（2）①过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．想办法证明四边形OEHF是平行四边形可得结论．

②想办法证明FD＝FB，推出FO⊥BD，推出△AOB是等腰直角三角形即可解决问题．

（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，

∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，

∵AC是直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠C＝60°，

∵OC＝OB，

∴△OCB是等边三角形，

∵OF＝FC，

∴BF⊥AC，

∴∠AFB＝90°，

∵AE＝EB，

∴EF＝AB＝．

（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．

∵∠FGA＝∠ABC＝90°，

∴FG∥BC，

∴△OFH∽△OCB，

∴＝＝，

同理＝，

∴FH＝OE，

∵OE⊥AB．FH⊥AB，

∴OE∥FH，

∴四边形OEHF是平行四边形，

∴PE＝PF．

②∵OE∥FG∥BC，

∴＝＝1，

∴EG＝GB，

∴EF＝FB，

∵DF＝EF，

∴DF＝BF，

∵DO＝OB，

∴FO⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝45°．