Question

【题目】如图，已知AB=AC，∠A=36°,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M，CE平分∠ACB，交BD于点E.下列结论:①BD是∠ABC的角平分线；②ΔBCD是等腰三角形；③BE=CD；④ΔAMD≌ΔBCD；⑤图中的等腰三角形有5个。其中正确的结论是___.(填序号)

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，又由AB＝AC，即可求得∠ABC与∠C的度数，则可求得所有角的度数，进而得出BD是∠ABC的角平分线，可得△BCD也是等腰三角形，BE=CE，ΔBCD是等腰三角形，ΔAMD为直角三角形，故这两个三角形不可能全等，由角的度数即可得图中的等腰三角形.

解：∵AB=AC，∠A=36°,

∴∠ABC=∠ACB=72°

又∵CE平分∠ACB，

∴∠DCE=∠BCE=36°

又∵AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M，

∴∠AMD=∠BMD=90°，AD=BD，

∴∠ABD=∠BAD=36°，∠ADB=108°，

又∵∠ADB=∠ACB+∠DBC=108°

∴∠DBC=36°

∠ABD=∠DBC，

∴BD是∠ABC的角平分线，

故①结论正确.

∠BDC=72°=∠ACB，

∴ΔBCD是等腰三角形，

故②结论正确.

∵∠DBC=∠ECB=36°

∴△BEC为等腰三角形，

∴BE=CE

又∵∠BDC=∠CED=72°

∴△DCE为等腰三角形，

∴CD=CE

∴BE=CD

故③结论正确.

∵ΔBCD是等腰三角形，ΔAMD为直角三角形

∴这两个三角形不可能全等，

故④结论错误.

图中△ABC、△ADB、△BCD、△BEC、△DCE都为等腰三角形，故⑤结论正确.

故本题正确的结论是①②③⑤.