Question

10．在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，动圆⊙P的半径为2．

（1）如图1，当⊙P的圆心与原点O重合时，直线l与⊙P相交于点A，请求出此时点A的坐标；
（2）如图2，当⊙P向上平移m（m＞0）个单位时，⊙P与直线l相切于点B，请求出此时m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，使⊙P在直线l上滚动，可以看出点P在某条直线上运动，请直接写出这条直线的解析式，并求出当⊙P与y轴有公共点时点P运动的路线长．

Answer 1

分析 （1）过A作AC⊥x轴于C，设A（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x），则OC=x，AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，由勾股定理得出方程x²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²=2²，求出方程的解即可；
（2）根据切线性质求出∠PBO=90°，解直角三角形求出OP即可；
（3）当⊙P从⊙P₁运动到⊙P₂时，⊙P与y轴有公共点，设⊙P₁和y轴切于D，⊙P₂和y轴切于E，连接P₁D，P₂E，P₁P₂，P₁P₂交y轴于R，求出P₂R=P₁R，解直角三角形求出P₁R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即可得出答案．

解答 解：（1）过A作AC⊥x轴于C，
∵A在直线l上，
∴设A（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x），
则OC=x，AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵OA=2，
∴由勾股定理得：x²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²=2²，
解得：x=$\sqrt{3}$，
即OC=$\sqrt{3}$，AC=1，
A的坐标为（$\sqrt{3}$，1）；

（2）如图1，∵OA=2，AC=1，
∴∠AOB=30°，
∴∠POB=60°，
∵根据切线性质得：∠PBO=90°，
∴OP=$\frac{PB}{sin60°}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-2；

（3）∵OP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴这条直线的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
当⊙P从⊙P₁运动到⊙P₂时，⊙P与y轴有公共点，
设⊙P₁和y轴切于D，⊙P₂和y轴切于E，连接P₁D，P₂E，P₁P₂，P₁P₂交y轴于R，
则P₁D=P₂E=2，∠P₁ER=∠P₁DR=90°，
在△P₂ER和△P₁DR中
$\left\{\begin{array}{l}{∠{P}_{2}ER=∠{P}_{1}DR}\\{∠ER{P}_{2}=∠DR{P}_{1}}\\{{P}_{2}E={P}_{1}D}\end{array}\right.$
∴△P₂ER≌△P₁DR（AAS），
∴P₂R=P₁R，
∵P₁P₂∥直线l，∠AOC=30°，
∴∠RP₁D=30°，
∵P₁D=2，
∴P₁R=$\frac{{P}_{1}D}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴P₁P₂=2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
即当⊙P与y轴有公共点时点P运动的路线长是$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数的图形和性质，解直角三角形等知识点的应用，能综合运用性质进行计算是解此题的关键，数形结合思想的应用，难度偏大．