Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3经过A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在x轴负半轴上，若点D关于直线AC的对称点E恰好在抛物线上，求点E的坐标；
（3）如图2，将抛物线的顶点平移至原点，点R为y轴正半轴上一点，过R作不平行x轴的直线交抛物线于P、Q两点，问是否存在点R使△OPQ的外心在PQ边上？若存在，求点R的坐标？若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-3中，得：
，
解得
故抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）设直线AC与直线DE的交点为F，由题意知：DE⊥AF，且DE=2DF=2EF；
∵∠DAF=∠CAO，∴∠FDA=∠OCA；
在Rt△OAC中，OA=1、OC=3，则：AC=，
∴sin∠FDA=sin∠OCA=，cos∠FDA=cos∠OCA=，tan∠FDA=tan∠OCA=；
设AD=x，则：AF=AD•sin∠ADF=x，DF=AD•cos∠ADF=x，DE=2DF=x；
过点E作EG⊥x轴于G，如右图1；
在Rt△DEG中，EG=DE•sin∠ADF=x•=x，DG=DE•cos∠ADF=x•=x，
OG=DG-OD=x-（x+1）=x-1；
则：E（x-1，x），代入y=x²-2x-3=（x+1）（x-3）中，得：
x（x-4）=x，解得：x₁=0（舍）、x₂=
∴E（，）．

（3）由题意可知，平移后的抛物线解析式为：y=x²；
分别过P、Q作PM⊥x轴于M、QN⊥x轴于N，设P（-m，m²）、Q（n，n²），（m、n＞0），如右图2；
若△OPQ的外心在PQ上，则△OPQ为直角三角形，且∠POQ为直角；
∴∠POM=∠OPN=90°-∠QON，
又∵∠PMO=∠ONQ=90°，∴△POM∽△OPN；
∴=，即：=，得：mn=1；
设直线PQ的解析式：y=kx+b，代入P、Q点的坐标，有：

①×n+②×m，得：
（m+n）b=mn（m+n），即：b=mn=1；
∴R（0，1）；
综上，存在符合条件的R点，且坐标为（0，1）．
分析：（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，通过解方程组即可求出待定系数的值．
（2）设直线DE和直线AC的交点为F，显然Rt△ADF和Rt△ACO相似，即∠ADF和∠ACO的正切、正弦、余弦值都相同，设AD=x，可由x表达出AF、DF的长，过E作EG⊥x轴于G，由于DE关于直线AC对称，那么DE=2DF，然后根据∠ADE的三角函数值求出DG、EG的长，由此得出点E的坐标表达式，再代入抛物线的解析式中即可确定点E的坐标．
（3）抛物线在平移过程中，开口方向和大小不变，即二次项系数不变，可据此求出平移后的函数解析式，分别过P、Q作x轴的垂线，设垂足为M、N，首先根据抛物线的解析式设出P、Q两点的坐标，若△OPQ的外心在PQ边上，那么△POQ必为直角三角形，且∠POQ为直角，由此得出的结论为Rt△PMO、Rt△ONQ相似，根据对应的直角边成比例可求出P、Q两点横、纵坐标的数量关系，利用待定系数法求出直线PQ的解析式后结合这个数量关系即可求出点R的坐标．
点评：这道题综合考查了二次函数、函数图象的平移规律、解直角三角形、轴对称图形的性质、直角三角形的外心位置以及相似三角形的应用等重要知识；（2）题需要找出关键锐角的三角函数值；最后一题的难度较大，通过构建相似三角形得到P、Q两点横、纵坐标的数量关系尤为重要．