分析 (1)根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=45°,由正方形的性质得到AD=AF,∠DAF=90°,由角的和差得到∠BAD=∠CAF,推出△BAD≌△CAF(SAS),根据全等三角形的性质得到∠ACF=∠B=45°,BD=CF,证得BC⊥CG,同理△ADC≌△AFG,即可得到结论;
(2)①根据等腰直角三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=45°,由正方形的性质得到AD=AF,∠DAF=90°,由角的和差得到∠BAD=∠CAF,推出△BAD≌△CAF(SAS),根据全等三角形的性质得到∠ACF=∠B=45°,BD=CF,证得BC⊥CG,同理△ADC≌△AFG,即可得到结论;②与①同理,可得BD=CF,BC=CG,BC⊥CG,根据已知条件得到BC=CG=FG=CD=2,如图(2),过点A作AM⊥BD于M,根据勾股定理得到AD=$\sqrt{10}$,过点E作EN⊥FG于N,根据全等三角形的性质得到FG=AM=1,推出NE为FG的垂直平分线,即可得到结论.
解答 解:(1)BC=CG,BC⊥CG,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°-∠DAC,∠CAF=90°-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF,
则在△BAD和△CAF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠B=45°,BD=CF,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
∴BC⊥CG,
同理△ADC≌△AFG,
∴CD=GF,
∴BD+CD=CF+GF,
即BC=CG,
故答案为:BC=CG,BC⊥CG;
(2)①仍然成立
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°-∠DAC,∠CAF=90°-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF,
则在△BAD和△CAF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠B=45°,BD=CF,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
∴BC⊥CG,
同理△ADC≌△AFG,
∴CD=GF,
∴BD+CD=CF+GF,
即BC=CG,
②与①同理,可得BD=CF,BC=CG,BC⊥CG,
∵AB=$\sqrt{2}$,G为CF中点,
∴BC=CG=FG=CD=2,
如图(2),过点A作AM⊥BD于M,
∴AM=1,MD=3,
∴AD=$\sqrt{10}$,
过点E作EN⊥FG于N,
在△AMD与△FNE中,$\left\{\begin{array}{l}{∠FEN=∠ADM}\\{∠ENF=∠AMD=90°}\\{EF=AD}\end{array}\right.$,
∴△AMD≌△FNE,
∴FN=AM=1,
∴FG=2FN,
∴NE为FG的垂直平分线,
即CE=FE=AD=$\sqrt{10}$.
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质,正方形的性质,等腰直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
队员1 | 队员2 | 队员3 | 队员4 | |
甲组 | 176 | 177 | 175 | 176 |
乙组 | 178 | 175 | 177 | 174 |
A. | $\overline{x}$甲=$\overline{x}$乙,S甲2<S乙2 | B. | $\overline{x}$甲=$\overline{x}$乙,S甲2>S乙2 | ||
C. | $\overline{x}$甲>$\overline{x}$乙,S甲2<S乙2 | D. | $\overline{x}$甲>$\overline{x}$乙,S甲2>S乙2 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 要了解人们对“低碳生活”的了解程度,宜采用普查方式 | |
B. | 一组数据5,5,6,7的众数和中位数都是5 | |
C. | 必然事件发生的概率为100% | |
D. | 若甲组数据的方差是3.4,乙组数据的方差是1.68,则甲组数据比乙组数据稳定 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 1 | C. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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