Question

【题目】问题提出：

如图①菱形ABCD中,AB=4,∠ABC=60°点0是菱形ABCD两条对角线的交点,EF是经过点O的任意一条线段，容易知道线段EF将菱形ABCD的面积等分，那么线段EF的长度的最大值是 ，最小值是 。

问题探究：

如图② 四边形ABCD中,AD∥BC,AD=2，BC=4，∠B=∠C=60°，请你过点D画出将四边形ABCD面积平分的线段DE，并求出DE的长。

问题解决：

如图③.四边形ABCD是西安城区改造过程中一块不规则空地，为了美化环境，市规划办决定在这块地里种两种花弃,打算过点C修一条笔直的通道，以方便市民出行和观赏花卉，并要求通道两侧种植的花卉面积相等，经测量AB=20米，AD=100米，∠A=60°，∠ABC=150°，∠BCD=120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长。

Answer 1

【答案】问题提出：，；问题探究：线段DE如图所示，DE=；问题解决：通道CF如图所示，CF=35米.

【解析】

问题提出：由题意可知，当EF⊥AD时，EF最短，当EF与BD重合时，EF最长，然后分别求解即可；

问题探究：如图②，取AB中点F，连接DF并延长交CB延长线于点G，取CG中点E，连接DE，首先易证△AFD≌△BFG，通过作CG中点E得到S△DEG=S△DEC，即可证明DE即为所求，然后根据等腰梯形的性质和∠C=60°可求出DM，EM，最后利用勾股定理求出DE即可；

问题解决：如图③，连接AC，过点B作BH∥AC交DA延长线于点H，取DH中点F，由S△HAC= S△BAC可知S四边形ABCD=S△CHD，即可证明CF即为所求；然后如图④，延长AB，DC交于点M，过点C作CN⊥AD，根据含30°直角三角形的性质可求出CN和ND，根据三角形面积可求出DF，然后利用勾股定理求出CF即可.

解：问题提出：如图①，由题意可知，当EF⊥AD时，EF最短，

∵AB=4，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=4，∠DAO=60°，

∴AO=2，

∴OE=，

∴EF=2OE=；

当EF与BD重合时，EF最长，

∵AB=4，AO=2，

∴BO=,

此时EF=BD=2BO=，

故答案为：，；

问题探究：如图②，取AB中点F，连接DF并延长交CB延长线于点G，取CG中点E，连接DE，则DE即为所求；

∵AD∥BC，

∴∠ADG=∠G，

∵∠AFD=∠BFG，AF=BF，

∴△AFD≌△BFG，

∴S△AFD= S△BFG，

∵E是CG中点，

∴S△DEG=S△DEC，

∴S四边形ABED= S△DEC，即DE将四边形ABCD面积平分，

过点D作DM⊥BC于点M，

∵AD=2，BC=4，∠B=∠C=60°，

∴CE=3，CM=1，

∴DM=，EM=2，

∴DE=；

问题解决：如图③，连接AC，过点B作BH∥AC交DA延长线于点H，取DH中点F，则CF即为所求；

∵BH∥AC，

∴S△HAC= S△BAC，

∴S四边形ABCD=S△CHD，

∵F为DH中点，

∴CF将四边形ABCD面积平分；

如图④，延长AB，DC交于点M，

∵∠ABC=150°，∠BCD=120°，

∴∠MBC=30°，∠BCM=60°，

∴∠M=90°，

∵AB=20米，AD=100米，∠A=60°，

∴∠D=30°，

∴AM=50米，MD=米，

∴BM=30米，MC=米，

∴S△CFD=S四边形ABCD=(S△AMD－S△BMC)=，

过点C作CN⊥AD，CD=米，

∴CN=米，ND=60米，

∴S△CFD=，

解得：DF=55米，

∴NF=5米，

∴CF=米.