Question

21、在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD=35°，则∠MAB是多少度”大家经过了一番热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出了正确结论，你知道他说的是（　　）

A、20°

B、35°

C、55°

D、70°

Answer 1

分析：延长DM交AB的延长线于E，连接AM．根据ASA，可以证明△DCM≌△EBM，再根据所求和已知角平分线求得AM⊥DE，∠BAM=∠DAM，∴∠DAM=90°-∠ADM=∠CMD．

解答：解：延长DM交AB的延长线于E，连接AM．
∵∠B=∠C=90°，M是BC的中点，
∴∠MBE=∠C，CM=BM，
又∵∠CMD=∠BME（对顶角相等），
∴△DCM≌△EBM（ASA），
∴CD=BE，∠CDM=∠BEM，DM=EM，
∵∠ADM=∠CDM，
∴∠ADM=∠BEM，
∴AD=AE，
又∵DM=EM，
∴AM⊥DE，∠BAM=∠DAM，
∴∠DAM=90°-∠ADM，∠CMD=90°-∠CDM=35°，
∴∠DAM=∠CDM=35°
∴∠BAM=35°．
故选B．

点评：注意梯形中常见的辅助线：当出现一腰的中点时，连接该点和一个顶点并延长，构造全等三角形．此题要能够进一步发现等腰三角形和直角三角形．