Question

（2012•泸州）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（　　）

• A．

  1

  2

  a²
• B．

  3

  3

  a²
• C．（1-

  3

  4

  ）a²
• D．（1-

  3

  3

  ）a²

Answer 1

分析：设B′C′与CD交于点E．由于阴影部分的面积=S_{正方形ABCD}-S_{四边形AB′ED}，又S_{正方形ABCD}=a ²，所以关键是求S_{四边形AB′ED}．为此，连接AE．根据HL易证△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定义得出DE=AD•tan∠DAE=

3

3

a．再利用三角形的面积公式求出S_{四边形AB′ED}=2S_△ADE．

解答：解：设B′C′与CD交于点E，连接AE．
在△AB′E与△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，

AE=AE AB′=AD

，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE．
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴DE=AD•tan∠DAE=

3

3

a．
∴S_{四边形AB′ED}=2S_△ADE=2×

1

2

×a×

3

3

a=

3

3

a²．
∴阴影部分的面积=S_{正方形ABCD}-S_{四边形AB′ED}=（1-

3

3

）a ²．
故选：D．

点评：本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．