Question

如图所示，在矩形ABCD中AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB₁C，对角线相交于点A₁；再以A₁B₁、A₁C为邻边作第2个平行四边形A₁B₁C₁C，对角线相交于点O₁；再以O₁B₁，O₁C₁为邻边作第3个平行四边形O₁B₁B₂C₁；…以此类推．
（1）矩形ABCD的面积为

192

；
（2）第1个平行四边行OBB₁C的面积为

96

；
第2个平行四边形A₁B₁C₁C的面积为

48

；
（3）第n个平行四边形的面积为

192×(

1

2

)n（或

192

2n

）

．

Answer 1

分析：（1）直角三角形ABC中，有斜边的长，有直角边AB的长，BC的值可以通过勾股定理求得，有了矩形的长和宽，面积就能求出了．
（2）不难得出OCB₁B是个菱形．那么它的对角线垂直，它的面积=对角线积的一半，我们发现第一个平行四边形的对角线正好是原矩形的长和宽，那么第一个平行四边形的面积是原矩形的一半；
（3）在（2）的基础上，依此类推第n个平行四边形的面积就应该是

1

2n

×原矩形的面积．由此可得出第2个和第n个平行四边形的面积．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB=12
∴∠ABC=90°，BC=

AC2-AB2

=

202-122

=16
∴S_矩形ABCD=AB•BC=12×16=192．
故答案是：192；

（2）∵OB∥B₁C，OC∥BB₁，
∴四边形OBB₁C是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四边形OBB₁C是菱形．
∴OB₁⊥BC，A₁B=

1

2

BC=8，OA₁=

1

2

OB₁=

OB2-A1B2

=6；
∴OB₁=2OA₁=12，
∴S_菱形OBB1C=

1

2

BC•OB₁=

1

2

×16×12=96；
同理：四边形A₁B₁C₁C是矩形，
∴S_{矩形A1B1C1C}=A₁B₁•B₁C₁=6×8=48；
故答案是：96，48；

（3）由（2）知，
S1=192×(

1

2

)1，
S2=192×(

1

2

)2
…
第n个平行四边形的面积是：Sn=192×(

1

2

)n（或S_n=

192

2n

），
故答案是：192×(

1

2

)n（或

192

2n

）．

点评：本题综合考查了平行四边形的性质，菱形的性质和勾股定理等知识点的综合运用，本题中找四边形的面积规律是个难点．