解决一下问题:(1)如图1.在半径为2的⊙O中.∠AOB=60°.则△AOB面积S△AOB= (2)如图2.在半径为R的⊙O中.弦AB在⊙0上.球:△AOB面积S△AOB的最大值． (3)如图3.在半径为3的⊙O中.M的坐标为(3.0).点A.B为半圆上两动点且弦AB长为32.AD⊥OE.BC⊥OE.垂足分别为D.C.求四边形ABCD面积的最大值．(4)如图4.四分之一圆O的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

解决一下问题：
（1）如图1，在半径为2的⊙O中，∠AOB=60°，则△AOB面积S_△AOB=

（2）如图2，在半径为R的⊙O中，弦AB在⊙0上，球：△AOB面积S_△AOB的最大值．
（3）如图3，在半径为3的⊙O中，M的坐标为（3，0），点A、B为半圆上两动点（A在B的左边）且弦AB长为3

，AD⊥OE，BC⊥OE，垂足分别为D，C，求四边形ABCD面积的最大值．
（4）如图4，四分之一圆O的半径为R，点B为圆弧上的任意一点，矩形ABCD内接于四分之一圆，求：矩形ABCD面积的最大值．

考点：圆的综合题,完全平方公式,垂线段最短,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理,勾股定理的逆定理,矩形的判定与性质,垂径定理

专题：综合题

分析：（1）过点O作OH⊥AB于点H，易证△OAB是等边三角形，只需求出AB及OH的值，就可解决问题；
（2）过点B作BG⊥AO，交AO的延长线于点G，如图2，根据垂线段最短可得BG≤BO，从而可求出△AOB面积的最大值；
（3）过点A作AQ⊥BC于点Q，易证四边形ADCQ是矩形，则有DC=AQ，根据垂线段最短可得DC=AQ≤AB．易证△ADM≌△MCB，则有AD=MC，DM=CB，由此可得S_{四边形ABCD}=

DC²，从而可求出四边形ABCD面积的最大值；
（4）连接OB，易得OC²+BC²=OB²=R²，根据完全平方公式（OC-BC）²=OC²+BC²-2OC•BC可得S_矩形ABCD=OC•BC=

{R²-（OC-BC）²}，从而可求出矩形ABCD面积的最大值．

解答：解：（1）过点O作OH⊥AB于点H，如图1，
根据垂径定理可得AH=BH=

AB．
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=2，
∴AH=1，OH=

OA2-AH2

，
∴S_△AOB=

AB•OH=

×2×

．
故答案为：

；

（2）过点B作BG⊥AO，交AO的延长线于点G，如图2，
则有BG≤BO，
∴S_△AOB=

AO•BG≤

AO•BO，即S_△AOB≤

R²，
∴当∠AOB=90°时，△AOB的面积取到最大值，为

R²；

（3）过点A作AQ⊥BC于点Q，如图3，
∵AD⊥OE，BC⊥OE，AQ⊥BC，
∴∠ADC=∠DCQ=∠AQC=90°，
∴四边形ADCQ是矩形，

∴DC=AQ，
∵AQ≤AB，AB=3

，
∴DC≤3

．
∵MA=MB=3，AB=3

，
∴MA²+MB²=AB²，
∴∠AMB=90°，
∴∠DMA+∠CMB=90°．
∵∠DAM+∠DMA=90°，
∴∠DAM=∠CMB．
在△ADM和△MCB中，

∠DAM=∠CMB

∠ADM=∠MCB

AM=MB

，
∴△ADM≌△MCB（AAS），
∴AD=MC，DM=CB，
∴AD+BC=MC+DM═DC，
∴S_{四边形ABCD}=

（AD+BC）•DC=

DC²≤

×18=9，
∴当四边形ABCD是矩形时，面积取到最大值，为9；

（4）连接OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OCB=90°，
∴OC²+BC²=OB²=R²，
∴（OC-BC）²=OC²+BC²-2OC•BC=R²-2OC•BC，
∴S_矩形ABCD=OC•BC=

{R²-（OC-BC）²}
∴当OC=BC时，矩形ABCD的面积取到最大值，为

R²．

点评：本题是有关三角形或四边形面积的最大值的问题，涉及到垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、垂线段最短、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、完全平方公式等知识点，涵盖的知识面比较广，是考查基础知识和基本能力的一道好题．

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（1）x²+12x+27=0
（2）5x²-8x+2=0．

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如图，图1、图2、图3是由棱长为1的正方体摆放而成的几何体，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫做第1层、第2层、…、第n层．
（1）当摆至构成几何体的小正方体有2层时，求第2层的小正方体的个数，构成这个几何体的小正方体的总数，几何体的表面积．
（2）但摆至构成的几何体的小正方体有n层时，记第n层的小正方体的个数为m，构成这个几何体的小正方体的总数为k，几何体的表面积为s_n，试求：①m₃、k₃、s₃；②m₆、k₆、s₆．