Question

19．如图所示，点E、F分别是正△ABC的边AC、AB上的点，AE=BF，BE，CF相交于点P，CQ⊥BE于Q，若PF=1，PQ=3，则BE=7．

Answer 1

分析 如图，证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF；证明∠QPC=60°，此为解题的关键性结论；证明PC=2PQ=6，即可解决问题．

解答 解：如图，∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠FBC=60°；
在△ABE与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠A=∠FBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE=CF；∠FBP=∠BCP，
∴∠QPC=∠PBC+∠BCP
=∠PBC+∠FBP=∠FBC=60°；
∵CQ⊥PQ，
∴∠PCQ=30°，PC=2PQ=6，
∴BE=CF=6+1=7，
故答案为7．

点评 该题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题；解题的关键是数形结合，准确找出图形中隐含的相等或全等关系．