【题目】已知:中,是直径,弦.
如图1,求证:
如图2,点在圆上,连接,若,求的值;
如图3,在的条件下,分别延长线段交于点,过作于,连接,若,求的长.
【答案】详见解析; ;
【解析】
(1)连接OC,OD,证明△AOD≌△BOC即可;
(2)作直径DQ,连接CQ,则∠DCQ=90°,根据DC∥AB,可得∠CHB=∠DCQ=90°,根据弧DC=弧DC,可得tan∠Q=tan∠DEC=,可设DC=7k,则CQ=24k,根据已知可得出CH=CQ=12k,HB=9k,即可得出tan∠B,根据弧AC=弧AC,可得∠CEA=∠B,即可得出答案;
(3)由现有条件可得AF=BF,连接FO,得∠OFG=∠EAB=α,再设∠AFG=β,在AE上取GN=AG=3,连接FN,则FN=FA=FB,推出tan∠NBE=,设BE=3n,则NE=4n,GE=2BE=6n,可推出AB==,所以在Rt△FOB中,tan∠OBF=,设FO=4t,OB=3t,即可得出FB,根据FA=FB即可确定答案.
(1)如图,连接OC,OD,
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD,
∵DC∥AB,
∴∠AOD=∠ODC=∠OCD=∠BOC,
又∵OA=OB,
∴△AOD≌△BOC,
∴AD=BC;
(2)作直径DQ,连接CQ,则∠DCQ=90°,
∵DC∥AB,
∴∠CHB=∠DCQ=90°,
又∵AB是直径,
∴CH=QH=CQ,
∴OH是△DCQ的中位线,
∴OH=DC,
∵弧DC=弧DC,
∴∠DEC=∠Q,
∴tan∠Q=tan∠DEC=,
设DC=7k,则CQ=24k,
∴CH=CQ=12k,OH=DC=k,
2r=DQ==25k,
∴OB=r=k,
∴HB=OB-OH=k-k=9k,
∴tan∠B===,
∵弧AC=弧AC,
∴∠CEA=∠B,
∴tan∠CEA= tan∠B=;
(3)如图1,
∵∠AOD =∠BOC,
∴∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC,即∠AOC=∠BOD,
∴弧AC=弧BD,
∴∠FAB=∠FBA,
∴AF=BF,
如图3,连接FO,
∵AO=BO,
∴∠BFO=∠AFO,FO⊥AB,
又∵FG⊥AE,
∴∠FOA=∠AGF=90°,
∴∠OFG=∠EAB=α,
设∠AFG=β,
则∠BFO=∠AFO=∠OFG+∠AFG=α+β,
∴∠AFB=2(α+β),
在AE上取GN=AG=3,连接FN,则FN=FA=FB,
∴∠GFN=∠AFG=β,
∴∠NFB=∠AFB-∠AFN=2(α+β)-2β=2α,
∴∠FBN=∠FNB==90°-α,
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠ABE=90°-∠EAB=90°-α=∠FBN,
∴∠ABE-∠ABN=∠FBN-∠ABN,
∴∠NBE=∠ABC,
∴tan∠NBE=,
∴设BE=3n,则NE=4n,
GE=2BE=6n,
∴6n=3+4n,
∴n=,
∴BE=,AE=12,
∴AB==,
在Rt△FOB中,tan∠OBF=,
∴设FO=4t,OB=3t,
∴FB==5t,
∴FB=OB=×=,
∴FA=FB=.
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【题目】如下表,从左边第一个格子开始向右数,在每个小格子中都填入一个整数,使得其中仼意三个相邻格子中所填整数之和都相等.
5 | 4 | …… |
(1)可求得_____;_____;_____.
(2)第2019个格子中的数为______;
(3)前2020个格子中所填整数之和为______.
(4)前个格子中所填整数之和是否可能为2020?若能,求出的值,若不能,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,矩形CDEF的顶点E在边AB上,D,F两点分别在边AC,BC上,且,将矩形CDEF以每秒1个单位长度的速度沿射线CB方向匀速运动,当点C与点B重合时停止运动,设运动时间为t秒,矩形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S,则反映S与t的函数关系的图象为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,曲线经过点,直线与曲线围成的封闭区域为图象.
(1)求曲线的表达式;
(2)求出直线与曲线的交点坐标;
(3)直接写出图象上的整数点个数有_________个,它们是___________.
(注:横,纵坐标均为整数的点称为整点,图象包含边界)
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【题目】已知二次函数图象的顶点坐标为(3,8),该二次函数图像的对称轴与轴的交点为A,M是这个二次函数图像上的点,是原点
(1)不等式是否成立?请说明理由;
(2)设是△AMO的面积,求满足的所有点M的坐标.
(3)将(2)中符号条件的点M联结起来构成怎样的特殊图形?写出两条这个特殊图形的性质.
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【题目】如图,在中,,点分别在边上,,点从点出发沿向点运动,运动到点结束,以为斜边作等腰直角三角形 (点按顺时针排列) ,在点运动过程中点经过的路径长是 __________
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【题目】如图,已知是的高, 直角的顶点是射线上一动点, 交直线于点所在直线交直线于点F.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若G为AE的中点,求tan∠EAF的值;
(3)在点E的运动过程中,若,求的值.
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【题目】已知抛物线,与x轴交于两点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(Ⅰ)求点A,B和点C的坐标;
(Ⅱ)已知P是线段上的一个动点.
①若轴,交抛物线于点Q,当取最大值时,求点P的坐标;
②求的最小值.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是BC的中点,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若CD=6cm,DE=5cm,求⊙O直径的长.
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