如图.在平面直角坐标系中.直线AB与x轴.y轴分别交于点A.动点P从点O出发.沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动.同时动点Q从点B出发.沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动.过点P作PC⊥AB于点C.连接PQ.CQ.以PQ.CQ为邻边构造?PQCD.设点P运动的时间为t秒．(1)当点Q在线段OB上时.用含t的代数式表示PC.AC的长,(2)在运动过程中.设� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（8，0），B（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点Q从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，过点P作PC⊥AB于点C，连接PQ，CQ，以PQ，CQ为邻边构造?PQCD，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点Q在线段OB上时，用含t的代数式表示PC，AC的长；
（2）在运动过程中，设△OPQ的面积为S．
①当点D落在x轴上时，求出满足条件的t的值；
②若点D落在△ABO内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围；
（3）作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′，在运动过程中，是否存在某时刻使过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）首先求出AB，在RT△ACP中，PA=8-t，根据sin∠OAB=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{OB}{AB}$，求出PC，根据cos∠OAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{AC}{PA}$，求出AC．
（2））①当D在x轴上时，如图2中，由QC∥OA，得$\frac{BQ}{BO}$=$\frac{BC}{AB}$，由此即可解决问题．
②当点D在AB上时，如图3中，由PQ∥AB，得$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，求出时间t，求出①②两种情形时的△POQ的面积即可解决问题．
（3）如图4中，当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，首先证明QB=QC，作QN∠BC于N，根据cos∠ABO=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{BN}{BQ}$，列出方程即可解决问题，当CQ′是⊙M切线时，方法类似．

解答解：（1）如图1中，

∵OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
在RT△ACP中，PA=8-t，
∵sin∠OAB=$\frac{PC}{PA}$=$\frac{OB}{AB}$，
∴PC=$\frac{3}{5}$（8-t），
∵cos∠OAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{AC}{PA}$，
∴AC=$\frac{4}{5}$（8-t）．
（2）①当D在x轴上时，如图2中，

∵QC∥OA，
∴$\frac{BQ}{BO}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{2t}{6}$=$\frac{10-\frac{4}{5}（8-t）}{10}$，
解得t=$\frac{27}{19}$．
∴t=$\frac{27}{19}$时，点D在x轴上．
②当点D在AB上时，如图3中，

∵PQ∥AB，
∴$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，
∴$\frac{6-2t}{6}$=$\frac{t}{8}$，
∴t=$\frac{24}{11}$，
当t=$\frac{27}{19}$时，S=$\frac{1}{2}$•（6-2t）•t=$\frac{810}{361}$，
当t=$\frac{24}{11}$时，S=$\frac{1}{2}$•（6-2t）•t=$\frac{216}{121}$，
∴点D落在△ABO内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围
$\frac{216}{121}$＜S＜$\frac{810}{361}$．
（3）如图4中，

∵Q（0，6-2t），Q′（0，2t-6），M（$\frac{8+t}{2}$，0），
当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，
∴∠QCM=90°，
∴∠QCP+∠PCM=90°，∵∠QCP+∠QCB=90°，
∴∠BCQ=∠PCM=∠CPM，
∵∠CPM+∠PAC=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠APC=∠OBA，
∴∠QBC=∠QCB，
∴BQ=CQ，作QN∠BC于N，
∵cos∠ABO=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{BN}{BQ}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}[10-\frac{4}{5}（8-t）]}{2t}$=$\frac{6}{10}$，
解得t=$\frac{9}{4}$，
当CQ′是⊙M切线时，同理可得$\frac{\frac{1}{2}[10-\frac{4}{5}（8-t）]}{12-2t}$=$\frac{6}{10}$，解得t=$\frac{27}{8}$．
∴t=$\frac{9}{4}$或$\frac{27}{8}$时，过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切．

点评本题考查圆的综合题、锐角三角函数、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是求得点D在特殊位置时的时间，学会利用方程解决问题，属于中考压轴题．

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D	300≤x＜400	14	a
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